Les théorèmes sur les intégrales des séries de fonctions s'obtiendront en appliquant les théorèmes sur les intégrales de limites aux suites partielles. Voyons déjà la convergence uniforme:
Si la série de fonction de terme général (un(x)) converge uniformément vers une fonction s sur [a,b], alors si sn désigne la somme partielle d'ordre n de la série on a:
lim n a b s n ( x ) dx = a b s ( x ) dx
Ce qui peut encore s'énoncer ainsi:
a b s ( x ) dx = n = 0 a b u n ( x ) dx
Une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi est que la série (un) converge normalement sur [a,b].
Ce théorème s'applique donc en particulier aux séries entières que l'on peut intégrer 'terme a terme' sur un intervalle [a,b] avec b < R où R est le rayon de convergence de la série.
Examinons maintenant le cas de la convergence dominée.
Soit une série de fonctions Riemann-intégrables sur [a,b] convergeant simplement vers une fonction s(x) sur [a,b] et telle que les sommes partielles sn soient bornées sur [a,b] (uniformément par rapport à n). Dans ces conditions la fonction s est Riemann-intégrable sur [a,b] et son intégrale est donnée par la formule:
a b s ( x ) dx = n = 0 a b u n ( x ) dx