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Gaston Darboux (1842/1917-FR)

Définitions

On suppose, dans tout ce qui suit que f est une fonction bornée sur [a,b].
Soit s=(x0,x1, ..., xn) une subdivision de [a,b]. On pose:
d ( f , s ) = i = 0 n 1 m i ( x i + 1 x i )
D ( f , s ) = i = 0 n 1 M i ( x i + 1 x i )
où:
m i = inf x [ x i , x i + 1 ] f ( x )
M i = sup x [ x i , x i + 1 ] f ( x )
d(f,s) s'appelle la 'somme de Darboux inférieure' relativement à s.
D(f,s) s'appelle la 'somme de Darboux supérieure' relativement à s.
Enfin on pose Δ(f,s)=D(f,s)-d(f,s).
Remarque: Dans le cas où f est positive et où nous pouvons attribuer une mesure à l'hypographe de f, l'intervalle [d(f,s), D(f,s)] donne clairement un encadrement de la mesure de cet hypographe.

Propriétés

Les résultats suivants serviront de lemmes techniques pour des résultats ultérieurs.
Si s' est une subdivision plus fine que s alors D(f,s')≤D(f,s) et d(f,s')≥d(f,s)

Voyons ce qui se passe quand on intercale un point supplémentaire y disons entre x0=a et x1. Dans ce cas s=(x0,x1,x2, ... ,xn) s'=(x0,y,x1, ... ,xn).
Si on compare les sommes de Darboux supérieures pour s et s', on a: D(f,s)=Supx∈[x0,x1]f(x)(x1-x0)+S et D(f,s')=Supx∈[x0,y]f(x)(y-x0)+Supx∈[y,x1]f(x)(x1-y)+S.
De sorte que notre inégalité résulte de Supx∈[x0,y]f(x) ≤ Supx∈[x0,x1]f(x) et Supx∈[y,x1]f(x) ≤ Supx∈[x0,x1]f(x).
Il suffit ensuite d'utiliser le fait que si s' est plus fine que s on passe de s à s' par intercalage d'un nombre fini de points à partir des points de s.
Il suffit donc d'utiliser le raisonnement qui précède à répétition, un nombre fini de fois.
On raisonne de même pour les sommes de Darboux inférieures.
Le résultat qui précède entraîne bien évidemment:
Si s' est plus fine que s alors Δ(f,s') ≤ Δ(f,s).
Si s1 et s2 sont des subdivisions quelconques de [a,b], on a toujours: d(f,s1) ≤ Df(s2)
Si on pose s=s1∨s2 on a d'après ce qui précède:
d(f,s1) ≤d(f,s) ≤ D(f,s) ≤ D(f,s2)

Visualisation des sommes de Darboux

Voici une appliquette vous permettant de voir certaines subdivisions de l'intervalle [1,8] ainsi que des fonctions étagées relatives à ces subdivisions et qui encadrent une fonction f donnée
f ( x ) = 4 1 + ( x 3 ) 2
Vous allez générer des subdivisions de l'intervalle [1,8].
Vous pouvez sélectionner un type (aléatoire, arithmétique ou géométrique) au moyen des boutons.
Vous pouvez également sélectionner faire varier le nombre de points avec les boutons 'n+' et 'n-'.
Vous voyez apparaître les sommes de Darboux supérieures et inférieures sur le graphique.
Les sommes supérieures apparaissent en rouge.
Les sommes inférieures sont représentées en bleu.

Cas des fonctions monotones

Si f est croissante sur [a,b] et si S est une subdivision quelconque de [a,b] S=x0,x1, ... ,xn, on a bien évidemment:
d ( f , s ) = k = 0 n 1 f ( x k ) ( x k + 1 x k )
et D ( f , s ) = k = 0 n 1 f ( x k + 1 ) ( x k + 1 x k )
Les formules sont inversées si f est décroissante.