Toutes les fonctions considérées ici sont supposées bornées.

Définition

Soit (s,t) une subdivision pointée de [a,b] et f une fonction numérique définie sur [a,b].
On suppose s=(x0=a,x1, ... ,xn=b) et t=(t0,t1, ... ,tn-1) avec xi≤ti≤xi+1 ∀ 0≤i≤n-1.
On appelle 'Somme de Riemann associée à f et (s,t)' le nombre:
S ( f , ( s , t ) ) = k = 0 n 1 f ( t k ) ( x k + 1 x k )
Il résulte immédiatement de la définition qu'on a entre les sommes de Riemann et les sommes de Darboux, les relations:
d(f,s)≤S(f,(s,t))≤D(f,S) quel que soit le pointage t de s.
En outre si f est monotone sur [a,b] les sommes de Darboux sont des sommes de Riemann particulières (revoir par exemple).
La proposition précédente vaut également si f est continue sur [a,b].
C'est une conséquence directe des résultats vus dans cette page.

Visualisations de sommes de Riemann

Voici une appliquette qui vous permet de voir des sommes de Riemann pour une fonction continue et des subdivisions particulières.
Les boutons de la première ligne vous permettent de définir la subdivision.
Les boutons de la seconde ligne vous permettent de chosir un pointage particulier.
La fonction étant continue (et uniquement pour cette raison), les deux premiers choix (sup, inf) correspondent à des sommes de Darboux.
Vous voyez apparaître les sommes de Riemann correspondantes et leurs valeurs calculées.
Subdivision
Type Riemann

Théorème fondamental

Les démonstrations qui suivent s'inspirent du cours d'analyse de Jean-François Burnol (voir page de liens).
Pour démontrer le résultat principal nous aurons besoin d'un lemme technique:
Si f est Riemann-intégrable sur [a,b], d'intégrale I(f), alors ∀ε>0, il existe δ>0 tel que:
δ(s)≤δ ⇒ I(f)-ε ≤ d(f,s) ≤ I(f) ≤ D(f,s) ≤I(f)+ε.

Soit ε>0.
D'après la définition de l'intégrabilité au sens de Riemann.
∃s1 telle que I(f)-ε/3 ≤ d(f,s1) ≤ I(f)
∃s2 telle que I(f) ≤ D(f,s) ≤ I(f)+ε/3
Prenant s = s1∨s2 on a donc:
I(f)-ε/3 ≤ d(f,s) ≤ D(f,s) ≤ I(f)+ε/3
On désigne par K le nombre de points de s, par M la borne supérieure de f sur [a,b] et par m la borne inférieure de f sur [a,b].
Soit u une subdivision quelconque et posons v = u∨s, on a alors:
d(f,v) ≤ d(f,u)+Kδ(u)(M-m) et D(f,v) ≥ D(f,u)-Kδ(u)(M-m)
De là nous tirons:
Δ(u) ≤ Δ(v)+2K(M-m)δ(u)
Or Δ(v) ≤ Δ(s) ≤2ε/3
Supposons δ(u) suffisamment petit pour que 2K(M-m)δ(u) ≤ ε/3 (Remarquons que M,n,K) ne dépendent pas de u mais seulement de s qui ne dépend que de ε).
On aura alors Δ(u) ≤ ε C.Q.F.D.
Si f est Riemann-intégrable sur [a,b] d'intégrale I(f), alors pour toute suite de subdivisions pointées (sm,tm) de [a,b] dont le pas δm=δ(sm) tend vers 0. On a:
limm→+∞ S(f,(sm,tm))=I(f).

Soit ε>0 et soit δ possédant la propriété du lemme précédent.
Si δ(s)≤δ, comme on a d(f,s)≤S(f,(s,t))≤D(f,S) on a aussi |S(f,(s,t)-I(f)|≤ε.

Conséquences

Si f est une fonction Riemann-intégrable sur [a,b].
Alors chacune des 2 expressions:
1 n i = 0 n 1 f ( a + i ( b a ) n )
1 n i = 1 n f ( a + i ( b a ) n )
converge vers a b f ( x ) dx quand n tends vers +∞
Il suffit, bien sûr, d'appliquer le théorème fondamental à des progressions arithmétiques.