Définitions

Une 'subdivision' d'un intervalle réel [a,b] consiste en une suite finie de points s=(x0,x1, ..., xn) vérifiant:
Une 'subdivision pointée' consiste en la donnée d'une subdivision s de [a,b] et pour chaque intervalle [xk,xk+1] un point quelconque tk ∈ [xk,xk+1].
Nous noterons une telle subdivision pointée (s,t) s étant une application de {0,1,...,n} dans [a,b] et t une application de {0, ..,n-1} dans [a,b] telle que x(k) ≤t(k)≤x(k+1) ∀k∈{0, ...,n-1}.
Cas classiques de subdivisions pointées:

Pas d'une subdivision

Le 'pas' d'une subdivision est la plus grande des distances entre deux points consécutifs xk, xk+1 de la subdivision s=(x0,x1, ... ,xn).
Notation: p=δ(s)=Supk∈{0,n-1} (xk+1-xk).

Ordre sur les subdivisions d'un même intervalle

Soient s1=(x0,x1, ... ,xn) et s2=(y0,y1, ... , ym) deux subdivisions d'un même intervalle [a,b] (donc x0=y0=a et xn=ym=b).
On dit que s1 est 'plus fine' que s2 si s2 est une suite extraite de s1, autrement dit si tout yj est un xi, où bien encore s'il existe une injection p:{0,1, ... ,m} → {0,1, ..., n} telle que yj=xp(j) ∀ j ∈ {0,1, ..., m}.
Il est facile de voir que:
La relation binaire définie ci-dessus entre les subdivisions de [a,b] est une relation d'ordre. Nous la notons s2 ≤ s1
Notons tout de suite quelques propriétés:
Il existe un plus petit élément pour cette relation c'est la subdivision à deux éléments (a,b) (les seules extrêmités).
Cependant,
Il n'existe pas de plus grand élément dans l'ensemble de toutes les subdivisions de [a,b].
car pour toute subdivision, il est possible de construire une subdivision strictement plus fine par ajout de points.
Un résultat intéressant est le suivant:
Tout couple de subdivisions (s1,s2) possède une borne supérieure, c'est la subdivision que nous noterons s1∨s2 formée en prenant la suite ordonnée de tous les points de s1, et tous les points de s2, sans répétitions.

Cas particuliers

Progression arithmétiques

Nous avons déjà rencontré de telles suites.
Dans ce cas l'écart entre deux points consécutifs est constant et est égal au pas. On parle encore de subdivision 'régulière'.

Progressions géométriques

Nous avons déjà rencontré de telles suites.
Dans ce cas le pas est égal à l'écart entre les deux derniers points.

Café python

Voir les exercices.

Visualisation de quelques subdivisions

Voici une appliquette vous permettant de voir certaines subdivisions de l'intervalle [1,8] ainsi que leur pas.
Vous pouvez sélectionner un type (aléatoire, arithmétique ou géométrique) au moyen des boutons.
Vous pouvez également augmenter ou diminuer le nombre de points avec les boutons 'n+' et 'n-'.
Notez que pour les progressions régulières (ari. et géo. plus le nombre de points augmente et plus le pas diminue.
Ceci n'est plus vrai dans le cas des suites aléatoires dans l'absolu, mais cela reste vrai statistiquement.
Plus le nombre de points est elevé et plus la probabilité que deux points voisins soient très éloignés diminue.