Notation

La notation suivante s'avère commode pour transcrire certaines formules du calcul intégral:
Pour toute fonction f et tous points a,b ∈ Df on pose [ f ( x ) ] a b = f ( b ) f ( a )

Formule d'intégration par parties pour les intégrales définies

Soient f et g deux fonctions continûment dérivables sur l'intervalle [a,b].
On a alors la formule a b f ' ( x ) g ( x ) dx = [ f ( x ) g ( x ) ] a b a b f ( x ) g ' ( x ) dx
Cela résulte tout simplement de la formule d'intégration par parties pour les primitives, que nous avons vue ici, et du théorème fondamental du calcul intégral.

Formule du changement de variable pour les intégrales définies

Soit u une application continûment dérivable, définie sur un intervalle [a,b].
Soit f une application continue sur un intervalle contenant l'intervalle compact u([a,b]).
Dans ces conditions les deux membres de l'équation qui suit ont un sens et sont égaux:
a b f ( u ( t ) ) u ' ( t ) dt = u ( a ) u ( b ) f ( u ) du
Cela résulte simplement du théorème de même nom concernant les primitives (revoir ce résultat).
Les deux membres valent F(u(b))-F(u(a)) où F est une primitive quelconque de f sur son intervalle de définition.