La formule

Cette formule peut s'énoncer ainsi:
f ( u ) du = f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx
f désigne ici une fonction dont on suppose qu'elle admet une primitive et u une fonction dérivable.
Dans ces conditions, si les deux membres ont un sens ils sont égaux.
Nous donnerons ultérieurement des conditions suffisantes sur f et u pour assurer que les deux membres ont bien un sens. Pour le moment nous utiliserons cette formule pour un calcul mécanique, à charge pour l'utilisateur de vérifier par un simple calcul de dérivée qu'il a bien trouvé la primitive cherchée.
Tout comme la formule d'intégration par parties provient de la formule de dérivation des produits, celle-ci provient de la règle de dérivation des fonctions composées.
Partons de (fou)'(x)=f'(u(x))u'(x)
qui par intégration, donne:
f u = f ' ( u ( x ) ) u'(x)dx
de sorte qu'en prenant, au lieu de f, une primitive F de f on a:
F u = f ( u ( x ) ) u'(x)dx
qui est exactement une autre façon d'écrire notre formule.
Notons, à ce propos, la cohérence des notations de Leibniz pour le calcul différentiel et intégral puisqu'on passe d'une formule à l'autre par 'substitution' de du dx à u'(x) et 'simplification' par dx. Notons encore pour le moment, que le symbole dx isolément n'a pas de sens, donc que ces opérations n'ont pas de sens, mais cette remarque constitue un excellent moyen mnémotechnique de se souvenir de cette formule.

Exemple d'application

Soit à calculer la primitive 1 u 2 du sur l'intervalle [-1,+1]
Posant u=cos(x) tout revient à calculer sin ( x ) sin ( x ) dx pour x ∈[0,π] mais dans l'intervalle considéré sin(x) est ≥ 0 on peut donc éliminer la valeur absolue.
Tout revient donc à calculer
sin 2 ( x ) dx = 1 2 ( 1 cos ( 2 x ) ) dx = 1 2 x 1 2 cos ( 2 x ) dx = x 2 sin ( 2 x ) 4
Nous arrivons donc à 1 u 2 du = x 2 + 2 sin ( x ) cos ( x ) 4 = a cos ( u ) 2 + u 1 u 2 2
et le lecteur pourra vérifier en dérivant le membre de droite par rapport à u il trouvera bien 1 u 2