Définition

Soit f une fonction numérique définie sur un domaine D. On dit que F est une 'primitive' de f sur D si:
NB: Au lieu de 'primitive de f' on dira aussi souvent 'intégrale' ou 'intégrale indéfinie' de f sur D.

Notations

Très souvent si on a une fonction numérique notée par une lettre minuscule on pourra convenir de noter une primitive avec la même lettre en capitale comme F, mais cette pratique a ses limites (Comment noter une primitive d'une primitive ?). Cette habitude plait beaucoup dans l'enseignement secondaire français.
La notation dite de Leibniz, car introduite par lui-même, consiste à noter une primitive de f sous la forme f ( x ) dx
Tout comme les notations de Landau cette notation est ambiguë puisque f ( x ) dx = f ( x ) dx + K pour toute constante K.
Comme dans le cas des notations des dérivées nous ne chercherons pas à donner, pour le moment, un sens précis au symbole dx pris isolément. Nous considérerons donc que le symbole dx a un sens dans une expression comme f ( x ) dx ou comme f x ( x 0 ) Cependant les notations de Leibniz sont cohérentes et pratiques, nous aurons l'occasion de le voir bientôt. C'est pourquoi elles perdurent. D'une certaine façon on n'a pas réussi à améliorer substantiellement ce symbolisme.
Remarquons encore que dans cette notation le symbole x agit comme une variable muette et peut être remplacé par n'importe quel autre:
f ( x ) dx = f ( y ) dy

Exemples

Cherchons par exemple une primitive de x2.
Nous savons que x3 se dérive en 3x2, compte tenu de la règle de dérivation des produits par un scalaire il suffit donc de faire précéder le terme x3 d'un facteur 1/3. Nous avons donc une primitive de x2 soit (1/3)x3.
Cherchons une primitive de f(x)=sin(x)+cos(x).
Nous savons qu'une primitive de cos(x) est sin(x). En outre cos(x) se dérive en -sin(x) donc -cos(x) se dérive en sin(x).
D'où notre proposition : sin(x)-cos(x) comme primitive de f(x).
Certaines fonctions n'ont, à coup sûr, pas de primitive. C'est par exemple le cas de E(x) (partie entière) car cette fonction ne satisfait pas à la propriété de la valeur intermédiaire (revoir le théorème de Darboux)

Cas où le domaine est un intervalle

D'une façon générale si F est une primitive de f sur D, et si K est une constante, F+K en est une autre. Donc toute fonction admettant une primitive en admet une infinité.
Considérons maintenant la fonction f nulle définie sur ]0,1[ ∪ ]2,3[. cette fonction possède, entre autres, comme primitives sur D: On voit donc que nous avons des primitives d'une même fonction qui ne diffèrent pas d'une constante, mais ceci est lié à la forme particulière du domaine qui se présente comme la réunion de deux intervalles disjoints.En fait:
Si D est un intervalle alors deux primitives de f sur D (à supposer qu'elles existent) diffèrent d'une constante.
C'est une conséquence immédiate du théorème dit des accroissements finis.

Approximation locale

Donnons nous une fonction pour laquelle nous ne savons pas a priori déterminer une primitive.
Disons par exemple f(x)= √(1+sin2(x)).
Faute de trouver une formule 'exacte' pour une primitive, nous cherchons une fonction F dont la dérivée soit aussi voisine que possible de f(x) et satisfaisant à une 'condition initiale' comme par exemple F(0)=0.
Si une telle fonction existe on sait qu'au voisinage de 0.
F(x)=F(0)+f(0)x +o(x)
Soit ε un réel >0 donné on peut donc prendre comme approximation de F(ε) la valeur F(0)+f(0)ε
Puis comme approximation de F(2ε) la valeur F(ε)+f(ε)ε
Et on a par récurrence:
F(nε)=F((n-1)ε)+εf((n-1)ε)
Illustrons cette méthode par un programme:

Voici le résultat de l'exécution
0.782893996731 0.785398163397
1.12542528606
0.784147121731 0.785398163397
1.12465577976
0.784564367101 0.785398163397
1.12439959977
0.784772902981 0.785398163397
1.12427157017
0.784897996731 0.785398163397
1.12419477173
0.78498138099 0.785398163397
1.12414358083
0.785040935506 0.785398163397
1.12410701984
0.785085598293 0.785398163397
1.12407960126
0.785120334179 0.785398163397
1.12405827697
0.785148121731 0.785398163397
1.12404121835