La formule

La formule dite "d'intégration par parties pour les intégrales indéfinies" peut s'écrire:
f ' ( x ) g ( x ) dx = fg f ( x ) g ' ( x ) dx
Elle s'obtient tout simplement par intégration de la formule de dérivation d'un produit soit (fg)'=f'g+fg'

Cas d'application

Le cas typique d'application est quand l'une des deux intégrales f ' ( x ) g ( x ) dx et f ( x ) g ' ( x ) dx est connue et qu'on cherche l'autre.
Par exemple, si nous cherchons une primitive de xcos(x), nous posons f(x)=x g'(x)=cos(x) d'où g(x)=sin(x).
La formule d'intégration par parties nous donne:
x cos ( x ) dx = x sin ( x ) sin ( x ) dx = x sin ( x ) + cos ( x )
La formule d'intégration par parties est efficace quand on l'utilise à répétition pour chercher une primitive d'une fonction de type p(x)g(x) où p(x) est une fonction polynomiale et g(x) une fonction dont les dérivées (ou les primitives sont périodiques), par exemple comme les fonctions trigonométriques. En effet, une application répétée de cette formule fera apparaître les dérivées successives du polynôme, or on sait qu'on parviendra tôt ou tard à une dérivée nulle.
Si on veut par exemple calculer la primitive de x2cos(x), il faudra s'y prendre en deux fois:
x 2 cos ( x ) dx = x 2 sin ( x ) 2 x sin ( x ) dx = x 2 sin ( x ) ( 2 x cos ( x ) + 2 cos ( x ) dx ) = ( x 2 2 ) sin ( x ) + 2 x cos ( x )