Théorèmes généraux

Il est maintenant temps de revenir sur les résultats concernant la relation de la dérivation avec les suites et séries de fonctions définies sur un même intervalle.
Les principaux résultats sont rassemblés dans cette page et encore cette autre.
Traduisons les résultats dans le langage des primitives:
Soit (fn)n∈ℕ une suite de fonctions définies sur un mếme intervalle I. On suppose que pour tout point x ∈ I il existe un voisinage V de x, tel que la suite (fn) converge uniformément vers f sur V, d'une part.
On suppose en outre que chaque fn possède sur I une primitive Fn et qu'il existe un point x0 de I tel que la suite Fn(x0) converge.
Alors dans ces conditions Fn(x) converge pour tout x ∈ I et si F est la limite des Fn, F est dérivable et de dérivée f où f est la limite des fn.
Et voici le corollaire dans le cas des séries:
Soit une série de fonctions de terme général un(x) définies sur un même intervalle I.
On suppose que pour chaque x de I il existe un voisinage V de x tel que la série f ( x ) = n = 0 u n ( x ) converge normalement vur V.
On suppose en outre, que pour chaque n, un possède une primitive Un sur I et qu'il existe au moins un point x0 de I, tel que la suite Un(x0) converge.
Dans ces conditions:
F ( x ) = n = 0 U n ( x ) converge pour tout x de I et F est une primitive de f sur I.

Applications à quelques cas particuliers

Développement en série du logarithme népérien au voisinage de 1

Prenons comme intervalle l'intervalle ouvert I=]-1,+1[ et considérons la série géométrique: 1 1 x = n = 0 x n
Intégrons cette série terme à terme on obtient la série n = 0 x n + 1 n + 1
Cette série a une rayon de convergence égal à 1 et converge vers une fonction ayant pour dérivée 1 1 x
Par un changement de variable x → 1-x, cela nous permet de conclure à l'existence d'une primitive de la fonction 1/x au voisinage de 1 dans l'intervalle ]0,2[, et prenant la valeur 0 en 1.
C'est cette fonction que nous avons désignée un peu plus tôt sous le nom de 'logarithme népérien' et notée ln.
En outre on a la formule (en changeant x en son opposé):
ln ( 1 + x ) = n = 1 ( 1 ) n + 1 x n n
Nous verrons par la suite que cette fonction peut-être prolongée sur tout l'intervalle ]0,+∞[
Voici une appliquette vous permettant de visualiser la convergence de série ln(1+x) dansl'intervalle ]-1,1[.
Faire varier n avec les boutons '+' pour monter et '-' pour descendre.
En vert la somme partielle de la série d'ordre n.
En rouge la fonction logarithme népérien de 1+x

On observera le comportement au voisinage de 1.
La théorie ici exposée ne nous dit rien en ce point situé sur la frontière (rayon de convergence égal à 1).
Par contre nous savons que la série converge parce qu'elle est alternée à terme décroissant.
Nous prouverons ultérieurement, ce que nous observons, c'est à dire qu'il y a bien convergence vers ln(2) pour x→1-, extrêmement lente toutefois.
Par contre pour x→1+, il y a clairement divergence.

Développement en série de la fonction arctangente au voisinage de 0

Changeons maintenant x en -x dans la formule 1 1 x = n = 0 x n
Nous obtenons:
1 1 + x = n = 0 ( 1 ) n x n
En remplaçant x par x2, il vient: 1 1 + x 2 = n = 0 ( 1 ) n x 2 n
Mais dans cette formule, on reconnaît à gauche la dérivée de la fonction arctangente.
Nous obtenons donc en passant aux primitives:
Dans l'intervalle ]-1,+1[ (domaine de convergence normale de la série) la fonction arctangente est représentée par:
arctan ( x ) = n = 0 ( 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 = x x 3 3 + x 5 5 . . .
Voici une appliquette vous permettant de visualiser la convergence de série arctan(x) dansl'intervalle ]-1,+1[.
Faire varier n avec les boutons '+' pour monter et '-' pour descendre.
En vert la somme partielle de la série d'ordre n pour n impair.
En rouge la fonction arctangente.

Observer, cette fois encore, le comportement au voisinage des extrêmités -1 et +1.