Monômes

On sait que si n désigne un entier positif la dérivée de xn est nxn-1.
Il en résulte aussitôt que:
Les primitives de xn sur ℝ sont de la forme xn+1/(n+1)+K
Et en appliquant la règle de dérivation du produit par un scalaire
Les primitives de anxn sur ℝ sont de la forme anxn+1/(n+1)+K

Polynômes

Les polynômes sont des sommes de monômes, en appliquant la règle de dérivation des sommes il vient:
Les primitives de la fonction polynomiale p ( x ) = i = 0 n a i x i sur ℝ sont de la forme P ( x ) = i = 1 n + 1 a i 1 i x i + K .
Ce sont donc également des fonctions polynomiales.

Puissances entières négatives

On sait que si n est un entier positif la dérivée de x-n est -nxn-1. Il en résulte que:
Si n>1 les primitives de x-n sur ℝ sont 1 1 n x 1 n + K
Ceci ne s'applique pas au cas n=1. Il n'existe aucune fonction rationnelle connue dont la dérivée soit égale à 1/x. Nous admettrons dans ce chapitre (nous le démontrerons dans le chapitre suivant) qu'une primitive de 1/x existe prenant la valeur 0 en x=1. Cette primitive se note ln(x) et s'appelle le logarithme népérien de x. Dans ces conditions:
Les primitives de 1/x sur ℝ+ sont de la forme ln(x)+K.
Les primitives de 1/x sur ℝ- sont de la forme ln(-x)+H.
Donc les primitives de 1/x sur ℝ sont de la forme ln|x|+K sur sur ℝ+ et ln|x|+H sur sur ℝ-
A noter que les constantes K et H ne sont pas forcément égales comme on peut le lire dans tant de formulaires.
Cela se vérifie immédiatement car, par dérivation des fonctions composées, la dérivée de ln(-x) est -(-1/x) et |x|=-x quand x<0.
Nous pouvons même étendre un peu ce résultat:
Si a désigne un réel non nul:
Les primitives de 1 ax + b sont de la forme: 1 a ln ( ax + b ) + K pour x>-b/a et 1 a ln ( ax + b ) + H pour x<-b/a

Puissances fractionnaires

Il résulte de la dérivation des exposants fractionnaires que:
Les primitives de xr sur ℝ+ sont de la forme (1/r)xr+1+K, r représentant ici un nombre rationnel différent de -1

Fonctions trigonométriques

Il résulte de la dérivation des fonctions trigonométriques que:
Les primitives de cos(x) sur ℝ sont de la forme sin(x)+K.
Les primitives de sin(x) sur ℝ sont de la forme -cos(x)+K.

Un cas très utile en pratique

Nous savons par dérivation de la fonction atan (réciproque de tangente) que:
Une primitive de 1 1 + x 2 sur ℝ est atan(x)
Cette remarque va nous permettre de déterminer les primitives des fonctions du type 1 a x 2 + bx + c où ax2+bx+c est un trinôme du second degré qui ne s'annule jamais sur ℝ.
Un tel trinôme s'écrit sous forme 'canonique' a ( ( x + b 2 a ) 2 + Δ 4 a 2 ) où Δ est un nombre strictement négatif.
Donc la constante K = Δ 4 a 2 est strictement positive.
Nous pouvons donc écrire:
1 a x 2 + bx + c = γ 1 + ( αx + β ) 2 où γ=1/aK , α=1/√K et β=b/(2a√K)
Une primitive de 1 a x 2 + bx + c sera donc (γ/α)atan(αx+β)

Encore une formule

Il résulte des formules de dérivation des fonctions réciproques que:
Une primitive de 1 1 x 2 sur ]-1,+1[ est asin(x)

Café Python

Le module sympy permet un calcul symbolique des primitives des fonctions usuelles