Nous vous conseillons de commencer par revoir les composés de familles indexées.
Voici un premier programme python calculant des produits finis:

Nous allons refaire avec l'opération 'produit' ce que nous avons fait avec l'opération 'somme' pour les séries.
Il s'agit donc d'étendre à des familles indexées non nécessairement finies la notion de produit.
Bien que cela soit possible en toute généralité, nous nous resteindrons au cas où la famille est dénombrable, c'est à dire au cas où I=.
Lorsque (vn) n∈ est une suite de réels, il s'agit donc de voir dans quelles conditions on peut donner un sens à l'expression:
Πvi
i=0
Nous essayerons également, de trouver des conditions pour que ces conditions soient réalisées, en établissant un lien entre la théorie des séries infinies et la théorie des produits infinis.
Mais avant de réaliser ce travail, examinons un cas concret, la 'formule de Wallis', dont nous ne cherchons pas, pour le moment, à donner une démonstration:
John Wallis (1616-1703-UK)




Voici un second programme python calculant la suite des produits de Wallis:

Voici une appliquette pour visualiser les produits successifs de la suite de Wallis.
Au début n=1.
Appuyez sur le bouton 'suivant' pour augmenter n d'une unité.
Appuyez sur 'recommencer' pour recommencer depuis le début.
Appuyez sur '+10' pour voir 10 nouvelles valeurs d'un seul coup.

On observera la lenteur exaspérante de la convergence vers π de la suite. Il faut presque 100 itérations pour obtenir 2 décimales exactes et près de 1300 pour 3 décimales exactes. Ceci n'est pas spécialement lié au fait qu'il s'agisse d'un produit. Il en va de même pour les produits que pour les sommes, la vitesse de convergence est liée à l'algorithme utilisé qui dans notre cas n'est pas spécialement efficace. Notre propos ici est seulement d'illuster la notion de 'produit infini'. On ne manquera pas, au passage d'obeserver le comportement de la suite p(n) des 'produits partiels'.