Nous avons vu en introduction avec la formule de Wallis un premier exemple de produit infini convergent. En voici un second un peu plus complexe parce qu'il nécessite le calcul de racines carrées à répétition, mais un peu plus convaincant du point de vue de l'efficacité. Cet algorithme est très voisin de l'algorithme d'Archimède pour le calcul de π.

Un exemple historique

L'exemple est emprunté à François Viète (1540-1603-FR)

Considérons la suite donnée par:
vn=cos(π/(2n+1) pour n≥1
Un rapide calcul de trigonométrie nous dit que cette suite est la suite récurrente donnée par: La formule sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2)
Nous permet d'établir par récurrence que:
2/π=sin(π/(2n+1))/(π/(2n+1))×pn
où pn=v1×v2× ... ×vn
Soit en posant xn=π/(2n+1)
2/π=(sin(xn)/xn)×pn
Mais quand n→∞ on a xn→0, et limn→∞sin(xn)/xn=1
Nous en concluons que:
limn→∞pn=2/π
Ce qui peut encore s'écrire:

Voici un programme python calculant les produits partiels pn et les comparant avec 2/π:

Voici une appliquette pour visualiser les produits successifs de la suite de Viète.
Au début n=0.
Appuyez sur le bouton 'suivant' pour augmenter n d'une unité.
Appuyez sur 'recommencer' pour recommencer depuis le début.
le bouton '+10' vous permet de voir 10 iérations successives.

Définition

Comme dans le cas des séries, nous pouvons définir les produits infinis convergents:
Soit (p,v) un produit infini. On dit que (p,v) 'converge vers la limite P' si la suite des produits partiels converge vers P.
Dans ce cas on écrit:
P=
Πvn
n=0

Exemples triviaux

Les résultats suivants se vérifient immédiatement:
Si un seul des vn est nul le produit infini converge vers 0.
Si la suite (vn) tend vers 0, alors le produit infini (p,v) tend également vers 0.
On pourra donc, en pratique, se concentrer sur les cas où tous les vn sont non nuls.
On peut cependant avoir une convergence vers 0 sans que le facteur général tende vers 0.
Par exemple:
vn=(1-1/n) n≥2
On remarque que vn → 1 et pn=1/n donc pn → 0.
On dit que le produit infini (p,v) converge 'strictement' s'il converge vers une limite P avec P≠0

Condition nécessaire de convergence

De la même façon que nous avons vu qu'une condition nécessaire de convergence pour la série (s,u) était limn→∞un=0, il est facile de constater que:
Une condition nécessaire pour la convergence stricte du produit infini (p,v) est:
limn→∞vn=1
Cependant, cette condition nécessaire n'est nullement suffisante, comme le montre l'exemple suivant:
vn=(1+1/n) n≥1
On a en effet:
pn=n+1
(pn) diverge donc vers +∞ bien que vn →1
Il résulte de cette remarque qu'on écrira souvent le facteur général d'un produit infini sous la forme:
vn=1+un
et qu'une condition nécessaire, mais non suffisante, de convergence du produit infini (p,v) est donc limn→∞un=0.
La convergence du produit infini dépendra en fait de la vitesse de convergence de la suite (un) vers 0.
Dans la page suivante, nous allons établir une condition suffisante sur la suite (un) pour que le produit infini (p,v) soit convergent.