Principaux théorèmes

Concernant les produits infinis (p,v) où v=1+u avec u de signe constant nous avons deux résultats importants.
Si tous les un sont positifs, les 2 assertions suivantes sont équivalentes:
  1. Π(1+un)
    n=0
    converge
  2. Σun
    n=0
    converge
Dans ce cas la suite des sommes partielles de la série de terme général un est une suite croissante.
La suite des produits partiels pn est une suite croissante.
Ces deux suites seront convergentes si et seulement si elles sont bornées.
La preuve résulte de la double inégalité:
1+
N
Σun
n=0
N
Π(1+un)
n=0
exp
(
N
Σun
n=0
)
Le résultat précédent reste valable quand tous les un sont dans l'intervalle ]-1,0].
On utilise dans ce cas les inégalités précédentes conjointement avec: 1/(1+un) ≥1-un
Le problème se pose maintenant de savoir ce qui se passe quand (un) n'est pas de signe constant.
Nous avons la condition suffisante suivante:
Pour que le produit (p,1+u) converge il suffit que la série (s,u) converge absolument.
La preuve, bien que relativement simple, fait appel à des notions non encores vues dans ce cours, comme la détermination principale du logarithme complexe, certaines équivalences, les propriétés des fonctions continues et de leurs réciproques, etc... Nous omettrons donc cette preuve purement et simplement, du moins pour le moment.
Voyons simplement que la condition n'est pas nécessaire. Il suffit de montrer un contre-exemple. Lorsqu'on prend un=(-1)n/n, pour n≥2, il est facile de voir que le produit infini (p,1+u) converge vers 1, mais la série (s,u) n'est pas absolument convergente.