Définitions

Un 'produit infini' consiste en la donnée conjointe de deux suites, liées par une relation:
Une suite (vn) n∈ appelée 'facteur général' et une suite (pn) n∈ appelée suite des 'produits partiels', la relation entre les deux étant:
(pn) est une suite récurrente et la relation de récurrence est p0=v0, pn+1=pn×vn+1.
Un tel produit infini pourra être noté, par exemple, (p,v).
Nous voyons donc qu'il y a une analogie parfaite entre les séries et les produits infinis:

Exemple de calcul de produits partiels

Voici un premier programme python calculant des produits partiels:

Le phénomène est curieux. Plus on rentre un nombre n grand et plus le résultat 2/pn est voisin de π il s'agit d'un phénomène de convergence (nous verrons cela à la page suivante) mettant en relation la suite des nombres premiers avec le nombre π. Le programme déclenche une erreur si on saisit au clavier autre chose qu'un nombre entier. Les temps de calcul étant élevés on ne peut cependant vérifier cela pour des valeurs de n très grandes, en pratique tout dépend de la puissance de la machine. Avec une machine courante, pour des temps de traitement acceptables, il est préférable de saisir un entier <1000.