Pré-requis

Ce chapitre suppose parfaitement connus les définitions et les résultats du chapitre précédent intitulé 'Suites'.

Historique

La plupart des ouvrages traitant des séries, introduisent le concept par une allusion au philosophe grec pré-socratique Zénon d'Elée (Zeno d'Elea), qui est né vers -480 et mort vers -420. Nous respecterons donc l'usage sans pour autant reprendre à notre compte les traditionnels commentaires des auteurs attribuant à Zénon une naïveté qui n'était certainement pas la sienne. Zénon est l'auteur de plusieurs paradoxes, parmi lesquels les plus célèbres sont:
Citation wikipédia: De fait ces paradoxes nécessitent pour leur compréhension, une connaissance exacte de la perception grecque ancienne de l'espace, du temps et du mouvement. Aujourd'hui encore ils ont un sens et font l'objet de discussions sérieuses. Nous renvoyons le lecteur intéressé à la page de liens pour lire les articles s'y rapportant.
D'un point de vue plus moderne, il s'agit d'étendre, si possible les sommes généralisées à des ensembles d'indices infinis, tout en conservant les propriétés usuelles de l'addition, à savoir l'associativité et la commutativité.
Au 18°, ces notions ne sont toujours pas clarifiées. Par exemple la série infinie:
1-1+1-1+1-1+ ....
Pouvait être écrite soit comme (1-1)+(1-1)+(1-1)+ ....+(1-1)
Auquel cas sa 'somme' est 'évidemment' nulle.
Ou bien comme: 1+(-1+1)+(-1+1)+....
Auquel cas sa 'somme' est 'évidemment' égale à 1.
On avait donc là de nouveaux paradoxes dont la réfutation n'est guère plus facile que pour ceux de Zénon.
Tous ces paradoxes ne trouvent leur solution que dans la définition rigoureuse des concepts de suite, de limite et de 'série'.
Nous allons nous employer à clarifier les choses dans ce chapitre.

Opérations sur des listes de nombres (Python)

Voici un code Python qui calcule une somme de termes d'une suite lorsque l'indice parcourt un ensemble prédéfini.

Approche intuitive

L'appliquette suivante illustre graphiquement le paradoxe de la dichotomie et montre qu'en additionnant 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 + ... +1/2n on n'obtient jamais 1.
Plus exactement si on pose:
sn=
n
Σui
i=1
On a toujours
sn < 1
En fait (sn) est une suite croissante et majorée par 1.Elle est donc convergente.
On peut voir que:
1-sn=(1/2)n
Donc que limn→∞ sn=1. Ce qu'on écrira:
1=
Σui
i=1
Au début n=1.
Appuyez sur le bouton 'Suivant' pour augmenter n d'une unité.
Appuyez sur 'Recommencer' pour recommencer depuis le début.

 
Cliquez pour le paradoxe de Zénon.
Le jaune ne remplira jamais le carré, même si les limites liées à la résolution d'écran le laissent à penser.