Définition

On dit qu'une série (s,u) est 'absolument convergente' si la série à termes positifs de terme général |un| est convergente.

Propriétés

Pour qu'une série soit convergente, il suffit qu'elle soit absolument convergente.
En effet, on a |sp-sq|= |uq+1+ ...+up| ≤ |uq+1|+ ... +|up|. De sorte que si la série de terme général |un| converge ses sommes partielles forment une suite de Cauchy. Il en résulte que les sommes partielles de la série s forment également une suite de Cauchy, donc que s est convergente.
Voyons encore quelques propriétés importantes des séries absolument convergentes:
Si (s,u) est absolument convergente, alors toute série dont le terme général est une suite extraite de u est également absolument convergente (donc convergente).
Cela résulte immédiatement du résultat sur les séries extraites des séries à termes positifs.

Séries semi-convergentes

Remarquons pour commencer que:
La condition suffisante ci-dessus n'est nullement nécessaire.
En effet la série harmonique alternée de terme général un=(-1)n/n est convergente (voir ici), mais la série harmonique de terme général |(-1)n/n|=1/n n'est pas convergente (voir cette page).
Une série qui est convergente sans être absolument convergente est dite 'semi-convergente' ou encore 'conditionellement convergente'.
Nous allons voir dans les pages qui suivent que la semi-convergence est une propriété beaucoup plus faible que la convergence, notamment pour ce qui concerne la propriété de commutativité. Mais commençons par une propriété très simple des séries semi-convergentes.
Toute série semi-convergente possède une infinité de termes positifs et une infinité de termes négatifs. Ou bien, pour être plus précis, il existe une infinité de valeurs de n pour lesquelles un>0 et une infinité de valeurs de n pour lesquelles un <0
En effet, il revient au même de dire que: De sorte que si (s,u) ne comportait qu'un nombre fini de termes négatifs (s,u) serait absolument convergente à partir d'un certain rang, donc absolument convergente. Si (s,u) ne comportait qu'un nombre fini de termes positifs, on pourrait dire la même chose de (-s,-u) donc de (s,u).
Il résulte donc de ce qui précède que:
Si (s,u) est semi-convergente on peut en extraire deux séries infinies à termes positifs:
Comme nous l'avons vu précédemment :
Ces deux séries ont chacune un terme général qui tend vers 0.
Notons maintenant que:
Chacune des deux séries s+, s- est nécessairement divergente vers +∞.
En effet, supposons par exemple que s- converge, alors ses sommes partielles seraient bornées. Comme les sommes partielles de s sont elles mêmes bornées, les sommes partielles de s+ seraient aussi bornées et s serait absolument convergente, contrairement à l'hypothèse.