Encore lui!

Voici un visage auquel il faudra vous habituer. La contribution du baron aux fondements de l'analyse est énorme.

'Règle' de cauchy pour les séries à termes positifs

On parlera de la 'règle' de Cauchy pour ne pas confondre avec le 'critère' de Cauchy déjà énoncé, mais cette règle est également connue dans la littérature sous le nom de 'critère de Cauchy'. Il suffit de savoir de quoi on parle.
Nous l'énonçons maintenant:
Si (s,u) est une série à termes positifs, et s'il existe un nombre positif k<1 et un entier N, tels que (un)1/n≤k pour tout entier n>N, alors la série converge.
Si (un)1/n>1 à partir d'un certain rang alors la série diverge.
Tout comme la règle de d'Alembert il s'agit d'un critère de comparaison avec les séries géométriques.
En particulier, la règle de cauchy sera vérifiée si:
lim sup n→∞ (un)1/n <1
Ou encore si:
lim n→∞ (un)1/n <1

'Règle' de cauchy pour les séries quelconques

On l'obtient en l'appliquant à la série de terme général |un|
Si (s,u) est une série, et s'il existe un nombre positif k<1 et un entier N, tels que |un|1/n≤k pour tout entier n>N, alors la série est absolument convergente.
En particulier la série sera absolument convergente si:
lim sup n→∞ |un|1/n <1
ou si:
lim n→∞ |un|1/n <1

Remarque

Le critère de d'Alembert et la règle de cauchy ont sensiblement les mêmes champs d'application. Il est des situations où l'une est plus 'naturelle', plus facile à utiliser que l'autre, en particulier quand le terme général est un produit dont un des facteurs est une puissance n-ième. Mais souvent quand l'un des deux tests échoue l'autre aussi, en particulier quand il y a convergence du rapport un+1/un vers 1 ou de (un)1/n vers 1. Voir cependant un contre-exemple dans cet exercice.