Définition

On dit que la série (s,u) de terme général un est 'commutativement convergente', si elle est convergente et pour toute permutation n → p(n) de l'ensemble ℕ, la série (t,v) de terme général vn=up(n) est convergente et de même somme que (s,u).

Propriété caractéristique

Pour les séries à termes réels nous avons le résultat important suivant:
Une condition nécessaire et suffisante pour que la série (s,u) soit commutativement convergente est qu'elle soit absolument convergente.
Démontrons d'abord qu'il s'agit d'une condition suffisante.

Soit (s,u) une série absolument convergente.
Soit a la somme de cette série.
Soit p une permutation quelconque de ℕ.
Soit ε > 0 .
D'après la définition des séries convergentes ∃ N0 tel que:
n > N0 ⇒ |sn-a| < ε.
et d'après la propriété de Cauchy ∃ N1 tel que:
p > q > N1
p
Σ|uk|
k=q
<ε
Posons N=Max(N0,N1)
Soit M=Max(p-1([0,N])=Sup(n ∈ ℕ | p(n)≤ N}
De sorte que:
m > M ⇒ p(n) > N
De sorte que si p > q > Max(M,N), on a:
p
Σ|up(k)|
k=q
<ε
Ce qui prouve que la série de terme général |up(k)| satisfait au critère de Cauchy.
Donc que cette série est convergente.
Donc que la série de terme général up(k) est absolument convergente. Donc que cette série est convergente.
Il reste maintenant à montrer que cette série a même somme que la série de terme général un.
Soit maintenant n > Max(M,N). Nous avons:
n
Σup(k)
k=0
 - 
n
Σuk
k=0
=S1+S2+S3
où:
S1=
M
Σup(k)
k=0
 - 
N
Σuk
k=0
S2=
n
Σup(k)
k=M+1
S3=
 - 
n
Σuk
k=N+1
Il résulte immédiatement de la définition de M que:
|S2| < ε et |S3| < ε
Or S1 est une somme finie de termes de la forme uk avec k > N.
Donc S1 vérifie également |S1| < ε
Donc si n > Max(M,N). Nous avons:
|
n
Σup(k)
k=0
 - 
n
Σuk
k=0
|
<
ε étant arbitrairement petit les deux séries convergent vers la même limite.
Montrons maintenant qu'il s'agit d'une condition nécessaire.
Il faut donc montrer que si (s,u) n'est pas absolument convergente, alors (s,u) n'est pas commutativement convergente.
Nous allons en fait montrer le résultat suivant:
Pour toute série (s,u) semi-convergente, il est possible de réarranger les termes de façon à ce que la série converge vers n'importe quelle limite donnée b à l'avance. Plus précisémment, il existe une permutation n → p(n) de ℕ telle que la série de terme général up(n) converge vers b.

Nous supposons connu le résultat vu à la page précédente sur les séries semi-convergentes et qui affirme qu'on peut associer à (s,u) deux séries infinies (s1,v) et (s2,w) telles que: Soit (p0,p1, ... ,pn, ...) la suite croissante des indices des un tels que un > 0. C'est à dire que vi=up(i) ∀ i ∈ ℕ.
Soit (q0,q1, ..., qn, ..) la suite croissante des indices des un tels que un ≤ 0. C'est à dire que wi=uq(i) ∀ i ∈ ℕ.
On remarquera que les deux ensembles {p0,p1, .. ,pn, ..} {q0,q1, ...,qn, ... } forment une partition de ℕ.
Supposons par exemple b ≥ 0.
On définit maintenant une suite d'entiers φ(n) par récurrence de la façon suivante:
φ(0)=p0
Si up0 < b φ(1)=p1, sinon φ(1)=q0.
Si uφ(0)+uφ(1) < b φ(2) sera le plus petit élément de {p0,p1, .. ,pn, ..} non encore choisi, sinon le plus petit élément de {q0,q1, ...,qn, ... } non encore choisi, et ainsi de suite. On voit ainsi que la série de terme général uφ(n) passe alternativement au dessus et en dessous de b que la différence de la somme partielle d'indice n de cette série avec b tend vers 0 puisque les deux suites vn et wn tendent vers 0.
Le fait que φ est une bijection résulte du fait que les deux ensembles {p0,p1, .. ,pn, ..} {q0,q1, ...,qn, ... } forment une partition de ℕ, et qu'on 'épuise' ainsi tous les pi et tous les qi.
D'où le résultat.
Cet algorithme est utilisé dans le programme exemple qui suit.

Un exemple de réarrangement

Voici un programme qui réarrange les termes de la série harmonique alternée, (laquelle converge vers ln(2)) pour la faire converger vers la valeur 1.