Toujours le même...

Il s'agit d'un résultat dû (encore) à Cauchy.

Le test de condensation pour les séries à termes positifs

Il s'agit de généraliser l'argument qui a été utilisé pour montrer la divergence de la série harmonique. Ce test concerne les séries dont le terme général est une fonction positive décroissante de n. Il peut s'énoncer ainsi:
Soit (s,u) une série à termes positifs décroissant alors du point de vue de la convergence la nature de (s,u) est la même que celle de la série de terme général 2nu2n, c'est à dire que si cette série converge (s,u) converge et si cette série diverge (s,u) diverge aussi.
Il va de soi que lorsqu'on dit que les séries sont de même nature on ne dit pas que les séries ont des sommes égales.
En pratique le test de condensation s'utilise en employant un autre test de convergence (Cauchy, d'Alembert) pour la série 'condensée'.
Passons maintenant à la preuve fondée sur des groupements.
Posons:
v0=u0+u1
v1=u2+u3
v2=u4+u5+u6+u7
v3=u8+u9+u10+u11+u12+u13+u14+u15
...........
vn=u2n+ ... + u2n+1-1
Alors il est clair que la série de terme général un est de même nature que celle de terme général vn.
Mais puisque (un) est décroissante, on a:
2nu2n+1 ≤ vn ≤ 2nu2n
Soit encore: (1/2)2n+1u2n+1 ≤ vn ≤ 2nu2n
Ce qui prouve notre assertion.

Remarque:

Au lieu de faire des groupements suivant les puissances de 2 on aurait pu aussi bien les faire suivant les puissance de 3 ou de 5. Le nombre 2 ne joue ici aucun rôle particulier. Il s'agit seulement de faire des groupements de sorte que le nombre de termes de chaque groupement varie comme une progression géométrique.

Le test de condensation pour les séries quelconques.

On l'obtient en l'appliquant à la série de terme général |un|. Il suppose donc que la suite |un| est décroissante. Nous pouvons donc l'énoncer ainsi.
Soit (s,u) une série de terme général un. On suppose que |un| est décroissante. Alors une condition nécessaire et suffisante pour que (s,u) soit absolument convergente est que la série de terme général 2n|u2n| soit convergente.