Définition

Une série (s,u) est dite 'convergente', si la suite (sn) de ses sommes partielles est convergente.
La 'limite' de la série est la limite des sommes partielles.
Si S est cette limite elle se note:
S=
Σui
i=0
et elle s'appelle la 'somme' de la série.
Une série non convergente est dite 'divergente'.

Exemples

Nous avons déjà vu des séries convergentes, par exemple:
  1. Dans cet exercice.
  2. Egalement dans cet exemple. On appelle cette série la série 'harmonique alternée'
L'appliquette suivante montre les termes de la série de terme général (-1)n-1/n ainsi que les sommes partielles s(n) de cette série.
Et nous avons aussi rencontré des séries non convergentes, par exemple: L'appliquette suivante montre les termes de la série de terme général 1/n, pour ≥ 1 (série dite harmonique) ainsi que les sommes partielles s(n) de cette série.
Au début, il n'y a que le premier terme, appuyez sur le bouton 'suivant' pour en voir un de plus.
Appuyer sur '+10' pour en voir 10 de plus d'un seul coup.
Appuyez sur 'recommencer' pour recommencer depuis le début.

Le cas des séries dont le terme général est une progression classique est simple et intéressant.
Aucune série dont le terme général est une progression arithmétique ne converge, sauf si son terme général est nul.
Toute série dont le terme général est une progression géométrique dont la raison q vérifie -1<q<1 converge vers u0/(1-q).
La preuve réside dans le calcul explicite des sommes partielles de ces séries qui a été fait ici.

Critère de Cauchy

Le critère de Cauchy pour la suite des sommes partielles d'une série, peut s'énoncer ainsi:
Une condition nécessaire et suffisante pour que la série (s,u) converge est que pour tout ε>0 il existe un entier m tel que p>q>n implique: |uq+uq+1+ ... + up-1+up|<ε

Condition nécessaire de convergence

Une condition nécessaire pour qu'une série converge est que son terme général tende vers 0.
En effet, si la série converge, la suite extraite (sn+1) de (sn) converge évidemment aussi vers la somme de la série. La différence sn+1-sn=un+1 converge donc vers 0.
Cependant cette condition n'est nullement suffisante (revoir par exemple ce cas).

Vitesse de convergence

La 'vitesse de convergence' de la série (s,u) est définie comme la vitesse de convergence de la série (sn) des sommes partielles.
Il résulte des résultats vus précédemment que l'étude du rapport |un+1/un| et particulièrement de sa limite (lorsqu'elle existe) donne une indication de cette vitesse.

Séries extraites et convergence

Il est remarquable qu'alors qu'il existe un lien fort entre la notion de suite extraite et la notion de suite convergente, il n'en est pas de même pour les séries.
En effet une série non convergente peut avoir une série extraite convergente (exemple série harmonique et série des inverses carrés).
Mais le contraire est possible, c'est à dire qu'il est possible d'extraire d'une série convergente, des séries non convergentes, par exemple la série des termes pairs de la série harmonique alternée est non convergente.
Cependant:
Pour toute série extraite d'une série convergente, le terme général tend vers 0.
Cela résulte immédiatement de la définition des suites extraites et de la condition nécessaire pour les séries convergentes.