Jean Le Rond d'Alembert

Est un mathématicien, philosophe et encyclopédiste français (1717-1783).

Critère de d'Alembert pour les séries à termes positifs.

Il peut s'énoncer ainsi:
Soit (s,u) une série à termes strictement positifs. On suppose qu'il existe une constante k<1 et un nombre N tels que:
n>N ⇒ un+1/un≤k. Alors la série (s,u) converge.
En effet on a si n>N, il résulte immédiatement de l'hypothèse que:
un≤Kn-NuN
Soit encore:
un≤Hkn
où:
H=uN/kN

De sorte que le résultat résulte immédiatement du critère de comparaison et du fait que les séries géométriques de raisons k convergent quand |k|<1
Ce résultat admet d'autre part le corollaire suivant:
Pour que la série (s,u), à termes strictements positifs, converge, il suffit que le rapport un+1/un tende vers un nombre k vérifiant 0≤k<1.
Cela résulte du fait que si un+1/un → k quand n → ∞ alors si ε est un réel ε>0 donné tel que k+ε<1, on a un+1/un<k+ε pour n suffisamment grand.
Attention, cette condition suffisante n'est nullement nécessaire.

Exemple 1:

La série des inverses carrés (un=1/n²) est convergente et lim un+1/un=1.
Mais on peut, sous les mêmes hypothèses avoir un résultat différent:

Exemple 2:

La série harmonique (un)=1/n est divergente et lim un+1/un=1.
En résumé quand le rapport un+1/un tend vers la constante 1, on ne peut rien dire a priori. Nous verrons que dans certains cas on peut affiner le critère de d'Alembert dans ce cas précis.
Il est par ailleurs évident que si ce rapport tend vers un nombre k>1, le terme général ne tend pas vers 0 et la série est divergente.

Critère de d'Alembert pour les séries quelconques

On l'obtient en appliquant le résultat précédent à la série de terme général |un|
Soit (s,u) une série quelconque. On suppose qu'il existe une constante 0≤k<1 et un nombre N tels que:
n>N ⇒ |un+1/un|≤k. Alors la série (s,u) converge absolument.
Le cas k=0 est évident la suite étant stationnaire et nulle à partir d'un certain rang.
Et, bien sûr, on a également le corollaire:
Pour que la série (s,u) converge absolument, il suffit que le rapport |un+1/un| tende vers un nombre k vérifiant 0≤k<1.