Définitions

Les 'séries' sont les suites (sn) n∈ℕ récurrentes définies par une relation du type:
s0=u0
sn=sn-1+un
où (un) n∈ℕ est une autre suite de réels appelée 'terme général' de la suite (sn)
La relation existant entre les deux suites est donc:
sn=u0+u1+ ...+un ∀n∈ℕ
ou encore avec l'écriture sommatoire usuelle:
sn=
n
Σui
i=0
sn s'appelle la n-ième 'somme partielle' de la série s.
Remarquons que ces sommes partielles correspondent aux notions de suites 'cumulées' familières aux statisticiens et aux comptables. Remarquons aussi qu'il se peut que les sommes partielles ne soient définies que pour n≥1 ou bien n≥p avec p>0. Ceci est sans importance, dans la mesure ou on peut tout 'décaler' d'un ou plusieurs rangs vers l'avant.
Remarquons enfin qu'une suite 'usuelle' peut être considérée si on veut comme une série, en contatant que:
La suite u apparaît donc comme la série de terme général un-un-1. La distinction entre suite et série est donc bien mince. Les séries dont des suites particulières et toute suite peut être vue comme une série. La plupart des théorèmes sur les suites s'appliqueront donc directement aux séries et réciproquement.

Exemples

  1. Nous avons déjà rencontré de telles suites, par exemple ici.Cet exemple porte le nom de série 'harmonique'
  2. Mais également ici.
  3. Un nombre réel x défini par un développement décimal illimité, constitue un exemple de série, dont le terme général est de la forme an/10n où ∀ n ∈ℕ an est un entier dans l'intervalle [0,9] qui est égal à la n-ième décimale du développement de x.

Exemple interactif n°1

L'appliquette suivante montre les termes de la série de terme général 1/n, pour ≥ 1 (série dite harmonique) ainsi que les sommes partielles s(n) de cette série.
Au début, il n'y a que le premier terme, appuyez sur le bouton 'suivant' pour en voir un de plus.
Appuyer sur '+10' pour en voir 10 de plus d'un seul coup.
Appuyez sur 'recommencer' pour recommencer depuis le début.

Exemple interactif n°2

L'exemple précédent concernait une série à termes positifs. voici maintenant un exemple de série 'la série harmonique alternée'.
L'appliquette suivante montre les termes de la série de terme général (-1)n-1/n ainsi que les sommes partielles s(n) de cette série.
Voici le code Python qui calcule la n-ième somme partielle de cette série:

Calcul de quelques sommes partielles

Les séries dont le terme général est une progression classique jouent un rôle particulier. Nous aurons besoin de résultats concernant ces séries. Un calcul préliminaire s'impose, celui de la n-ième somme partielle de la série soit sn connaissant le terme général un.

Notion de série 'extraite'

Soit (s,u) une série de terme général u=(un). On dit que (t,v) est une série 'extraite' de (s,u) si le terme général v de la sérite t est une suite extraite de la suite u.
Par exemple la série de terme général 1/n2 est une série extraite de la série de terme général 1/n (n≥1).