Galerie des portraits

Niels-Henrik Abel (1802-1829) NOR Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) DE

Le lemme d'Abel

Soit (un) une suite décroissante de termes positifs, et soit (vn) une suite quelconque. On a alors:
|
n
Σuivi
i=0
|
Au0
où: A=Sup(|v0|,|v0+v1|, ... ,|v0+v1+ ...+vn|)

Posons sn=v0+v1+ ... +vn
On a:
n
Σuivi
i=0
=u0s0+u1(s1-s0)+ ... +un(sn-sn-1)
n
Σuivi
i=0
=s0(u0-u1)+s1(u1-u2)+ ... +sn-1(un-1-un)+snun
Comme u0≥u1≥u2≥ ...
On a :
|si|(ui-1-ui)≤A(ui-1-ui)
Et aussi:
|sn|un≤Aun
De sorte que le lemme s'obtient par sommation en appliquant l'inégalité triangulaire.

Le théorème de Dirichlet

Si
|
n
Σvn
i=0
|
K
où K est indépendant de n.
et si (un) est une suite décroissante tendant vers 0. Alors
n
Σunvn
i=0
est convergente.

Soit ε un nombre réel >0 donné.
On peut trouver N tel que n>N ⇒ vn<ε/2K.
Comme:
q
Σui
i=p+1
=
q
Σui
i=0
 - 
p
Σui
i=0
On a:
|
q
Σui
i=p+1
|
|
q
Σui
i=0
|
+
|
p
Σui
i=0
|
Donc:
|
q
Σui
i=p+1
|
2K
Mais d'après le lemme d'Abel:
|
q
Σuivi
i=p+1
|
Avp+1
où A≤2K.
Donc si p≥q>N, il vient:
|
q
Σuivi
i=p+1
|
ε
La série de terme général unvn satisfait donc au critère de cauchy, elle est donc convergente.

Application aux séries alternées

Le théorème de Dirichlet admet le corollaire important suivant:
Soit (s,a) une série de terme général: an=(-1)nun
où (un) est une suite décroissante de termes positifs tendant vers 0. Alors (s,a) est convergente.
Il suffit d'appliquer le théorème de Dirichlet avec vn=(-1)n.
On retouve ainsi une démonstration simple de la convergence de la série harmonique alternée.

Remarque:

Dans le cas précis ci-dessus, la suite des sommes partielles d'ordre pair est décroissante et converge vers la somme de la série. La suite des sommes partielles est croissante et converge aussi vers la somme de la série. (s2n) et (s2n+1) sont donc deux suites adjacentes.
Ce qui fait que si S est la somme de la série on a toujours:
s2n≥S≥s2n+1
et la différence s2n-s2n+1 est une majoration de l'erreur commise en remplaçant S par s2n.

Le test d'Abel

Le théorème de Dirichlet admet une autre conséquence importante:

Si la série (s,v) de terme général vn est convergente et si un est une suite monotone, bornée alors la série de terme général unvn est également convergente.

En effet la suite (un) est forcément convergente soit u sa limite.
Posons an=|u-un|
Alors la suite (an) est décroissante et tend vers 0.
Il en résulte que la série de terme général anvn converge d'après le théorème de Dirichlet.
Supposons que (un) soit croissante, de sorte que an=u-un.
Alors la série de terme génral uvn converge, de même que celle de terme général (u-un)vn.
Par différence on voit que la série de terme général unvn converge également.
Le raisonnement est identique en remplaçant la différence par une somme quand (un) est décroissante.