On peut généraliser la notion de série de réels en ajoutant des dimensions.
La plupart des résultats relatifs aux séries 'simples' ont leur équivalent pour les séries multiples moyennant des adaptations au contexte.
C'est ce que nous allons voir en détail dans cette page.

Galerie des portraits

Otto Stolz (1842-1905-AU) Alfred Pringsheim (1850-1941-DE) Guido Fubini (1879-1943-I)

Définitions

Ainsi les termes d'une série simple constituent une suite, c'est à dire une application de ℕ dans ℝ et peuvent être représentés par un tableau (infini) à une dimension:
u0,u1,u2, ... , un, ....
Le terme général d'une 'série double' correspond à une application de ℕ × ℕ dans ℝ.
Ainsi on pourra écrire ce terme général sous la forme:
(um,n) (m,n) ∈ ℕ × ℕ.
Une telle série peut donc être représentée par une matrice infinie:
u0,0 u0,1 u0,2 ... u0,n ...
u1,0 u1,1 u1,2 ... u1,n ...
u2,0 u2,1 u2,2 ... u2,n ...
. . . . . ...
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um,0 um,1 um,2 ... um,n ...
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Une série double peut encore être vue comme une série de séries, chaque série correspondant à une ligne (ou à une colonne) du tableau.
Visualisation de la série
correspondant à la ligne d'indice 1:
Visualisation de la série
correspondant à la colonne d'indice 2:
u0,0 u0,1 u0,2 ... u0,n ...
u1,0 u1,1 u1,2 ... u1,n ...
u2,0 u2,1 u2,2 ... u2,n ...
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um,0 um,1 um,2 ... um,n ...
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u0,0 u0,1 u0,2 ... u0,n ...
u1,0 u1,1 u1,2 ... u1,n ...
u2,0 u2,1 u2,2 ... u2,n ...
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um,0 um,1 um,2 ... um,n ...
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Définissons encore un 'rectangle' de dimensions m et n (d'origine 0,0) comme la matrice finie des termes ui,j avec 0≤i≤m et 0≤j≤n.
Nous colorions ci-dessous, le rectangle de dimensions 3,2:
u0,0 u0,1 u0,2 ... u0,n ...
u1,0 u1,1 u1,2 ... u1,n ...
u2,0 u2,1 u2,2 ... u2,n ...
. . . . . ...
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um,0 um,1 um,2 ... um,n ...
. . . . . ...
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Pour un tel rectangle nous désignerons par sm,n la somme de tous les termes du rectangle de dimensions m+1,n+1:
sm,n=
i=m,j=n
Σui,j
i=0,j=0
C'est l'équivalent des sommes partielles pour les séries simples.
Voici un exemple de programme calculant des sommes partielles:

Convergence des séries doubles

Commençons par la convergence d'une suite double:
Soit (um,n) une suite double. On dit que cette suite converge vers le réel a, si pour tout ε>0 il existe des entiers M et N tels que m>M et n>N implique |a-um,n| < ε.
Voici la définition de la convergence d'une série double (à rapprocher de celle d'une série simple)
On dit que la série double de terme général um,n et de sommes partielles sm,n converge vers la limite S si:
∀ ε ∈ ℝ, ε>0 ∃ (M,N) ∈ ℕ × ℕ | ∀ (m,n)∈ ℕ × ℕ vérifiant m>M et n>N on ait:
|sm,n-S|<ε
Autrement dit la convergence de la série double équivaut à la convergence de la suite double des sommes partielles.

Exemples:

  1. Il est assez simple de fabriquer des séries doubles à partir de séries simples. Si (s,u) est une série simple de terme général un, on peut lui associer la série de terme général vm,n où vm,n=0 si m≠n et vn,n=un. Cette série double sera convergente ou divergente selon que (s,u) l'est.
  2. Il est assez clair qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série double à termes positifs, soit convergente est que ses sommes partielles soient bornées. La limite est alors la borne supérieure de ces sommes partielles.
    La preuve est en tout point analogue au cas des séries simples.

Condition nécessaire de convergence

Remarquons encore que:
Une condition nécessaire pour que la série double de terme général um,n soit convergente est que lim(m,n)→∞ um,n=0.
La preuve résulte de: um,n=sm,n - sm-1,n - sm,n-1+sm-1,n-1
Toutefois cette condition nécessaire n'est nullement suffisante. Considérons par exemple la série double construite à partir de la série harmonique par le procédé ci-dessus.

Séries doubles absolument convergentes

Comme pour le cas des séries simples:
On dit qu'une série double de terme général um,n est 'absolument convergente' si la série double de terme général |um,n| est convergente.
Compte tenu de la remarque précédente, une série double est absolument convergente si et seulement si les sommes partielles de la série |um,n| sont bornées.

Le critère de Stolz

Le critère de Stolz est l'équivalent du critère de Cauchy pour les séries doubles. Il peut s'énoncer ainsi:
Quel que soit ε > 0. Il existe deux entiers p et q, tels que si m>p et n>q on a:
|sm+i,n+j - sm,n| < ε ∀ (i,j) ∈ ℕ×ℕ
On a alors le résultat suivant:
La satisfaction du critère de Stolz est une condition nécessaire et suffisante de convergence pour les séries doubles.
Le fait qu'il s'agisse d'une condition nécessaire est à peu près évident compte tenu de la définition de la convergence d'une série double et de l'inégalité du triangle.
Montrons maintenant qu'il s'agit d'une condition suffisante:
Il résulte du critère de Cauchy pour les séries simples que si le critère de Stolz est vérifié la série simple de terme général un,n est convergente. Soit a sa limite. Faisant alors tendre i et j vers l'infini de sorte que m+i=n+j, nous voyons que |a-sm,n|<ε si m>p et n>q, d'où la convergence de la série double.
Le critère de Stolz entraîne la conséquence importante qui suit:
Toute série double absolument convergente est convergente.
En effet, soit (s,u) une série absolument convergente et (t,v) la série à termes positifs où v=|u|.
(t,v) est donc par hypothèse convergente, mais de plus: |sp,q-sm,n| ≤ tp,q-tm,n
Il résulte donc que (s,u) satisfait au critère de Stolz si (t,v) y satisfait.

La théorème de Pringsheim

Soit (s,u) une série double de sorte que u est une fonction de 2 variables u=(um,n)(m,n) ∈ℕ×ℕ
On fait sur u les suppositions suivantes:
On suppose que pour tout m la série simple de terme général um,n n∈ℕ (série ligne) est convergente et de somme hm.
On suppose que pour tout n la série simple de terme général um,n m∈ℕ (série colonne) est convergente et de somme vn.
Voici maintenant l'énoncé du Théorème de Pringsheim:
Si la série double (s,u) est convergente et de somme S
Si la série de terme général hm est convergente et de somme H.
Si la série de terme général vn est convergente et de somme V.
Alors H=V=S
Avant de passer à la démonstration de ce théorème nous attirons l'attention du lecteur sur les conditions extrêmement précises et très restrictives d'application. L'existence de H et celle de V n'implique ni leur égalité ni l'existence de S.
Cela veut dire simplement que si on sait a priori qu'une série double est convergente, on peut calculer sa somme par la série des sommes des lignes ou par la série des sommes des colonnes.
Prenons par exemple la suite définie par sm,n = (m-n)/(m+n+3).
Le terme général de cette suite double est donc um,n=sm,n - sm-1,n - sm,n-1+sm-1,n-1
En faisant une sommation par les lignes on trouve une limite égale à -1.
En faisant une sommation par les colonnes on trouve une limite égale à +1.
La série double, elle-même n'a pas de limite.
Passons donc à la preuve de ce théorème:

Puisque S existe pour tout ε>0 donné nous pouvons trouver n tel que pour p>n et q>n on a : |sp,q-S|<ε
Et puisque lim q→∞sp,q=h0+h1+ ... +hp existe
|(h0+h1+ ... +hp)-S|≤ε
Et donc par passage à la limite H=S.
On montre de la même façon que V=S.

Convergence commutative des séries doubles absolument convergentes

Dans le cas des séries doubles absolument convergentes nous avons de plus le résultat suivant qui est un cas perticulier d'un résultat plus général de la théorie de l'intégration connu sous le nom de théorème de Fubini.
Soit (s,u) une série double absolument convergente, alors:
  1. La somme de chaque série ligne existe.
  2. la somme de chaque série colonne existe.
  3. La série des sommes des lignes converge vers une limite H.
  4. La série des sommes des colonnes converge vers une limite V.
  5. Si S est la somme de la série H=V=S.

Il résulte de l'hypothèse que chaque série ligne et chaque série colonne est une série absolument convergente, donc convergente, ce qui établit les points 1 et 2.
Considérons maintenant la série des valeurs absolues des sommes des lignes. C'est une série à termes positifs majorée par:
M=
i=∞ ,j=∞
Σ|ui,j|
i=0,j=0
Elle est donc convergente.
Donc la série des sommes des lignes est absolument convergente, donc convergente, ce qui établit le point n°3.
Le point n°4 se démontre de la même manière.
Enfin, le point n°5 découle du théorème de Pringsheim, puisque (s,u) étant absolument convergente est en particulier convergente.

Séries multiples

Après les séries doubles, nous pouvons définir les séries 'triples' dont le terme général s'écrit um,n,p et est une fonction de 3 variables entières.
Nous laissons au lecteur le soin d'énoncer la définition de la convergence d'une telle série, de donner l'équivalent des critères de Cauchy et de Stolz, de donner la définition de la convergence absolue, et de citer un théorème de convergence commutative concernant ces séries triples.
D'une façon générale, on peut définir les séries à p dimensions et énoncer les analogues des théorèmes vus en dimensions 1 et 2.