A l'attention des étudiants passant des examens ou préparant des concours.

Les questions relatives à la convergence des séries ne sont pas rares.
Comme pour les suites on trouve deux genres de questions: Comme dans le cas des suites, les questions du premier type sont beaucoup plus faciles que celles du second type.
Pour les questions du premier type on pourra d'abord essayer d'appliquer directement un des cinq tests donnés dans ce chapitre: Si tout cela échoue on pourra essayer: Il existe enfin d'autres tests spéciaux, plus fins que nous n'avons pas présentés ici mais qu'on peut trouver dans la littérature ou bien sur Internet, il s'agit des tests: Si cela échoue encore, il faudra essayer de majorer ou de minorer le terme général de la série (où sa valeur absolue) de façon à pouvoir comparer la série d'origine avec une nouvelle série pour laquelle un des tests précédents s'applique.
Si ces tentatives restent infructueuses, il faudra utiliser des techniques plus sophistiquées empruntées à la théorie de l'intégration et que nous n'avons pas encore vues jusqu'à présent. Ces techniques sont essentiellement de deux sortes: Nous renvoyons donc le lecteur aux chapitres concernés (quand ils seront publiés).
Pour les questions du second type (les plus ardues, donc). Il est peu probable que vous trouviez dans ce chapitre des outils suffisamment puissants pour calculer des limites non évidentes. Il faut pour cela utiliser des théorèmes relatifs au développement des fonctions numériques en séries: En outre, de nombreuses techniques utilisent les fonctions d'une variable complexe (y compris pour calculer les sommes de séries à termes réels). Là encore nous demandons au lecteur un peu de patience pour résoudre des problèmes complexes de calculs de limites de séries convergentes.

Problèmes d'analyse numérique

Un troisième type de question purement calculatoire peut être posé aux candidats aux diverses épreuves.
Il s'agit d'évaluer avec un programme informatique ou une simple calculatrice, la valeur d'une somme de série sous forme d'un développement décimal avec une précision donnée à l'avance.
Il s'agit donc de remplacer la somme d'une série par la valeur d'une somme partielle.
Les problèmes sont de deux types: Là encore il s'agit de problèmes délicats pour lesquels on ne peut fournir de méthodologie générale. En général quand on remplace la somme d'une série par une somme partielle, nous avons un 'reste' qui est lui-même la somme d'une série décalée. La valeur absolue de ce reste sera majorée par la somme de la série décalée des valeurs absolues. Il faudra donc trouver des majorations de ces restes. Parfois c'est simple, comme dans le cas des séries alternées à termes décroissants, parfois c'est plus compliqué.
Les erreurs d'évaluation des sommes partielles font intervenir les types de données utilisés pour le calcul (float, double, etc...) ainsi que le nombre d'opérations intervenant dans l'algorithme de calcul.