Définition

Comme leur nom l'indique, les séries à termes positifs sont les séries (s,u) pour lesquelles un ≥ 0 ∀ n ∈ ℕ.

Propriétés

Il résulte immédiatement de la définition que:
Les séries à termes positifs sont monotones croissantes.
Et compte tenu, du résultat vu dans cette page, on n'a pour ces séries que deux comportements possibles:
En outre:
Si une série à termes positifs converge sa limite ne peut être strictement négative.
En effet, dans ce cas la limite est la borne supérieure des sommes partielles qui sont toutes positives.
Pour les séries à termes positifs on dispose de théorèmes dits 'de comparaison':
Si (s,u) et (t,v) sont deux séries à termes positifs si (t,v) converge et si un = O(vn) pour n → ∞ alors (s,u) converge également.
La preuve est immédiate:
Il existe N tel que pour n > N on a un ≤ Kvn où K est une constante positive. De là nous tirons que si p > q > N on a sp-sq ≤ K(tp-tq), de sorte que si t vérifie le critère de Cauchy, s le vérifie également.
Si (s,u) et (t,v) sont deux séries à termes positifs si (s,u) diverge et si à partir d'un certain rang N on a vn ≥ Kun avec K>0 alors (t,v) diverge également.
En effet, si les sommes partielles de s ne sont pas bornées, celles de t ne le sont pas non plus.
Voici maintenant une propriété importante des séries à termes positifs:
Toutes les séries extraites d'une séries à termes positifs convergente, est du même type. Plus précisément, soit (s,u) une série a termes positifs, et soit v une suite partielle extraite de u, alors la série (t,v) est convergente, à termes positifs, et sa somme est ≤ à la somme de (s,u).
Cela résulte tout simplement du fait que les sommes partielles de t sont majorées par la limite de s.

Exemple d'application

La série de terme général:
un=2n/(n3+n+1)
est convergente car un=O(1/n2) et que la série de terme général 1/n2 converge (résultat vu dans cet exercice)