Multiplication des séries

Soient (s,u) et (t,v) deux séries simples, supposées toutes les deux absolument convergentes. Alors la série double (z,w) de terme général wm,n=um,nvm,n est, elle aussi, absolument convergente et de somme ST si S est la somme de (s,u) et T la somme de (t,v).
Cela résulte immédiatement des résultats de la page précédente consacrée aux séries doubles. En effet la série de terme général |wm,n| a toutes ses sommes partielles majorées par le produit στ, σ étant la somme de la série de terme général |um,n| et τ étant la somme de la série de terme général |vm,n|. Il suffit donc d'appliquer le théorème de Fubini à (z,w) qui sera donc de somme ST.
Considérons maintenant la série simple (p,k) où k est défini par:
k0=u0v0=w0,0
k1=u0v1+u1v0=w0,1+w1,0
k2=u0v2+u1v1+u2v0=w2,0+w1,1+w0,2
kn=
Σuivj
i+j=n
La série simple (p,k) s'appelle la 'série produit' ou encore 'produit de convolution' de (s,u) par (t,v).
Conservant les notations précédentes, nous allons maintenant examiner le lien entre la série simple (p,k) et la série double (z,w).
Notons que chaque terme k de p correspond à la somme des termes d'une 'diagonale' de la série double z, pn correspondant lui-même à la somme des termes d'un 'triangle'.
Ci-dessous on voit:
w0,0 w0,1 w0,2 ... w0,n ...
w1,0 w1,1 w1,2 ... w1,n ...
w2,0 w2,1 w2,2 ... w2,n ...
. . . . . ...
. . . . . ...
. . . . . ...
wm,0 wm,1 wm,2 ... wm,n ...
. . . . . ...
Le résultat important (théorème de Cauchy) est le suivant:
Si (s,u) et (t,v) sont absolument convergentes, la série produit (p,k) est aussi absolument convergente et sa somme P est égale à ST.

Soit n un entier. Posons m=E(n/2) E désignant ici la partie entière. Si zm,m désigne la somme partielle de la série double (z,w). Estimons la différence entre pn=k0+k1+ ... +kn et zm,m On sait d'après le critère de Stolz appliqué à la série double de terme général |uivj| que cette différence est aussi petite qu'on veut pourvu que m soit suffisamment grand.
Mais quand n tend vers l'infini, m tend également vers l'infini.
Or on sait que zm,m tend vers ST. Il en va donc de même de pn.

Un exemple d'application

Voici un cas intéressant d'application des résultats du paragraphe ci-dessus.
Si x désigne un réel quelconque la série de terme général un=xn/n! est absolument convergente. Il suffit pour le voir d'utiliser le critère de d'Alembert. Désignons par exp(x) la somme de cette série.
Soient maintenant (s,u) la série de terme général un=xn/n! et (t,v) la série de terme général vn=yn/n!.
le terme général kn de la série produit de (s,u) par (t,v) est donc:
kn=
Σ
xi

i!
yj

j!
i+j=n
Mais la formule du binôme nous donne:
kn=(x+y)n/n!
De cela résulte la formule:
exp(x+y)=exp(x)exp(y)
NB: Nous démontrerons par la suite que la fonction exp ainsi définie n'est rien d'autre que l'exponentielle de base e, x → ex, fonction réciproque du logarithme népérien, de sorte qu'on retrouve la formule ex+y=exey
Voici un programme d'illustration: