Exposé de la méthode

Supposons qu'on ait à étudier la convergence d'une série (s,u) dont le terme général est défini disons pour n≥1 et qu'on remarque qu'il existe une suite (vn) (n≥0) telle que:
un=vn-vn-1 pour tout n≥1
On remarque alors que:
s1=u1=v1-v0
s2=u1+u2=(v2-v1)+(v1-v0)=v2-v0 (annulation ou 'téléscopage' des termes v1).
s3=(v3-v2)+(v2-v1)+(v1-v0)=v3-v0 (téléscopage des termes v1,v2).
Et plus généralement par récurrence sur n:
sn=vn-v0.
De sorte que:
La série (s,u) converge si et seulement si la suite (vn) converge dans ce cas on a S=a-v0 où a=limn→∞vn.

Exemple traité

Etudions la série (s,u) de terme général:
un=
1

n(n+1)
On a un=vn-vn-1
où vn=-1/(n+1)
Comme limn→∞vn=0, on obtient S=-v0=1