Si D est une partie de ℝ alors les applications de D dans ℝ forment un ensemble noté ℝD.
Cet ensemble est, nous l'avons vu, muni d'une structure d'algèbre.
Comme dans tout ensemble on peut considérer les suites d'éléments de ℝD.
L'ensemble de ces suites, (ℝD) peut à son tour être muni d'une structure d'algèbre.
Si (fn)n∈ℕ est une telle suite de fonctions, alors pour tout x ∈ D (fn(x))n∈ℕ est une suite de réels. Cette suite peut donc être convergente.
Si ∀ x ∈ D la suite (fn)(x) est convergente, cela nous permettra de définir une fonction f ∈ ℝD par la formule:
f(x)=limn→∞fn(x).
Dans ce cas précis, nous nous pencherons sur le cas particulier des suites de fonctions continues sur D.
Nous verrons qu'en général une limite de fonctions continues n'est pas continue.
Il faudra donc définir renforcer la condition de convergence pour obtenir une continuité 'héréditaire' de la fonction limite, ce qui conduira à la définition de la 'convergence uniforme'.
Ce sera pour nous l'occasion d'observer notre premier théorème d'inversion de limites: limn→∞limx→x0fn(x)=limx→x0limn→∞fn(x)
Comme dans le cas des réels, les séries de fonctions ne sont que des suites récurrentes particulières avec une relation du type:
fn+1=fn+un.
Nous utiliserons nos connaissances sur la convergence des séries pour en déduire des théorèmes sur la convergence des séries de fonctions. Dans ce cadre la convergence dite 'normale' nous donnera des conditions suffisantes pour que la somme d'une série de fonctions continues soit encore continue.
Nous étudierons pour finir des séries dont le terme général est une fonction simple (monôme ou fonction trigonométrique) et qui jouent un rôle important en analyse pour tous les problèmes d'approximation.
Nous verrons enfin que les produits infinis ne sont que des cas particuliers de suites récurrentes, tout à fait comparables aux séries, sauf que l'addition est remplacée par la multiplication dans la relation de récurrence.