Définition

Soit (fn) une suite de fonctions numériques définies sur un même domaine D.
On dit que la suite (fn) 'converge simplement' vers la fonction f sur D si:
∀x∈D limn→∞fn(x) existe et est égale à f(x).

Exemple

Reprenons un exemple déjà vu.
fn(x)=xn.
Au début n=0.
Appuyer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n.
Appuyer sur le bouton 'n-' pour diminuer la valeur de n.

Sur D1=[0,1[ la suite (fn) converge simplement vers la fonction nulle.
Sur D2=[0,1] la suite (fn) converge simplement vers la fonction f nulle sur [0,1[ et vérifiant f(1)=1.
Sur D3=[0,2] la suite (fn) ne converge simplement vers aucune fonction à valeurs réelles.
On voit sur cet exemple que la précision du domaine D est déterminante.

Convergence et monotonie

Le résultat suivant, d'une utilité pratique certaine, se démontre instantanément:
La limite simple d'une suite de fonctions toutes croissantes (res. toutes décroissantes) est encore croissante (resp décroissante).

Convergence simple et opérations

Les résultats suivants résultent des résultats sur les limites et opérations algébriques et se démontrent sans la moindre difficulté:
La limite simple d'une somme de deux suites est la somme de leurs limites simples (quand elles existent, bien sûr).
La limite simple d'un produit de deux suites est le produit de leurs limites simples (quand elles existent, bien sûr).