Définition

Supposons que la suite (fn) converge simplement vers f sur D. Cela signifie que pour tout x∈D et pour tout ε>0 il existe N tel que n>N ⇒ |fn(x)-f(x)|<ε. L'entier N dépend évidemment de ε et de x de sorte qu'il convient de le noter en toute rigueur N(ε,x).
On dit que la convergence de (fn) est 'uniforme sur D' si l'entier N(ε,x) ne dépend que de ε et pas de x. Autrement dit ∀ε∈D ∃N(ε) tel que
n>N(ε) ⇒ |fn(x)-f(x)|<ε ∀x∈D.
La convergence uniforme est donc une propriété plus forte que la convergence simple.
L'intérêt de cette notion réside dans le résultat suivant:
La limite uniforme d'une suite de fonctions continues est une fonction continue.
Avant de passer à la preuve remarquons que la limite simple d'une suite de fonctions continues n'est pas forcément continue comme le montre l'exemple fn(x)=xn avec D=[0,1].
Voici une autre exemple: D=[0,π] fn(x)=sinn(x)
Au début n=0.
Appuyer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n.
Appuyer sur le bouton 'n-' pour diminuer la valeur de n.

Soit x0∈D et ε>0 alors il existe N tel que n≥N ⇒ |fn(x)-f(x)|<ε/3.
fN étant continue en x0 il existe η>0 tel que |x-x0|<η ⇒ |fN(x)-fN(x0)|<ε/3.
L'inégalité du triangle nous donne aussitôt:
|f(x)-f(x0)|< |f(x)-fN(x)+|fN(x)-fN(x0)|+|f(x0)-fN(x0)|≤ε
Remarquons avant de continuer que la convergence uniforme est une condition suffisante pour que la limite d'une suite de fonctions continues soit continue mais que cette condition n'est nullement nécessaire. Ainsi sur D=[0,1[ la suite fn(x)=xn converge simplement mais non uniformément vers la fonction continue nulle.
Voici une autre exemple où on peut observer une convergence uniforme:
D=[0,π] fn(x)=3sin(x)/n
Au début n=1.
Appuyer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n.
Appuyer sur le bouton 'n-' pour diminuer la valeur de n.

Critère de Cauchy uniforme

Ceci est l'équivalent pour les suites de fonctions du critère de Cauchy pour les suites de réels.
On dit que la suite (fn) satisfait au critère de Cauchy relativement à D, si ∀ε>0 il existe un entier N tel que p>N et q>N ⇒ |fp(x)-fq(x)|<ε ∀x∈D.
Nous avons donc:
Si (fn) est une suite de fonctions continues satisfaisant au critère de Cauchy uniforme sur D, alors (fn) est uniformément convergente vers une fonction f sur D, laquelle est bien également continue en vertu du résultat précédent.

En effet pour tout x la suite (fn(x)) est une suite de Cauchy, il en résulte qu'elle est convergente désignons par f(x) sa limite, nous définissons ainsi une fonction f sur D qui est la limite simple de (fn) mais il est évident au moyen de l'inégalité triangulaire que f est en fait limite uniforme de (fn).

Convergence uniforme et opérations

Les résultats suivants résultent des résultats sur les limites et opérations algébriques et se démontrent sans la moindre difficulté:
La limite uniforme d'une somme de deux suites est la somme de leurs limites uniformes (quand elles existent, bien sûr).
La limite uniforme d'un produit de deux suites est le produit de leurs limites uniformes (quand elles existent, bien sûr).

Application aux séries de fonctions

On dit que la série (sn(x),un(x)) converge uniformément sur D vers une fonction s si s est limite uniforme de la série des sommes partielles.
Si toutes les fonctions un sont continues alors toutes les sn le sont en tant que sommes d'un nombre fini de fonctions continues. Donc dans ce cas (si les un sont toutes continues sur D) et si la série est uniformément convergente alors la somme s(x) sera une fonction continue.
Cela dit le critère de Cauchy uniforme pour les séries de fonctions peut s'énoncer ainsi:
Pour que la série (sn,un) converge uniformément sur D il faut et il suffit que pour tout ε>0, il existe un entier N tel que p>N et q>p ⇒ |up+1(x)+up+2(x)+ ... +uq(x)|<ε ∀x∈D.
Compte tenu de l'inégalité triangulaire généralisée, on a donc le résultat suivant:
Si (sn,un) est une série à terme général un(x) continu, une condition suffisante pour que la série converge uniformément vers une fonction continue est que pour tout ε>0 il existe un entier N tel que q>p>N ⇒ |up+1(x)|+|up+2(x)|+ ... +|uq(x)|<ε
Nous allons maintenant donner une condition suffisante pour que cela soit réalisé.
On dit que la série (sn,un) définie sur un domaine D est 'normalement convergente' sur D s'il existe une série convergente à termes réels positifs (σnn), telle que:
|un(x)|≤αn ∀x∈D.
Le résultat suivant est alors presque évident compte tenu de tout ce qui précède:
Une condition suffisante pour que la série (sn,un) à terme général continu un(x) soit uniformément convergente sur D est qu'elle soit normalement convergente sur D.

Les théorèmes de Dini

Ulisse Dini (1845/1918-IT)
La convergence uniforme entraîne la convergence simple, la réciproque étant en général fausse. Il existe pourtant certains cas où cela se produit. C'est Ulisse Dini qui a isolé deux de ces cas importants. Ces résultats servent principalement en théorie de l'intégration.

Premier théorème de Dini

Si D est un sous-ensemble compact de ℝ et si (fn) est une suite monotone de fonctions numériques définies sur D, et si (fn) converge simplement vers une fonction continue sur D alors la convergence est uniforme sur D.
Pour démontrer ce premier théorème nous aurons besoin d'une lemme (résultat préliminaire). Ce résultat, très important, peut servir de caractérisation des parties compactes de ℝ.
Soit (Vn)n∈ℕ une famille d'ouverts de ℝ on dit que cette famille 'recouvre' K (ou bien est un 'recouvrement' de K) si K est inclus dans la réunion des Vn(soit K ⊆ Vn(n∈ℕ) ou encore ∀x∈K ∃n∈ℕ tel que x∈Vn).
Voici l'énoncé du lemme connu sous le nom de théorème de Heine-Borel:
Si K est compact, de tout recouvrement dénombrable de K on peut extraire un recouvrement fini.

Posons pour tout entier n Fn=K-(V1∪V2∪...∪Vn). Supposons que notre lemme soit faux, alors tous les Fn seraient non vides. Dans ce cas nous pouvons construire une suite (xn) de point de K, telle que xn∈Fn ∀n. De cette suite nous pouvons extraire une suite partielle xp(n) convergente, d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass. Soit a la limite de cette suite, a∈K car K étant compact est en particulier fermé. Donc a est dans l'un des Vn puiqu'ils recouvrent K, disons a ∈Vk.
Comme Vk est ouvert, il existe ε tel que |x-a|<ε ⇒ x∈Vk.
D'autre part pour n suffisamment grand tous les xp(n) vérifient |xp(n)-a|<ε.
Mais chaque xp(n) n'appartient pas à la réunion V1∪V2∪...∪Vp(n) donc pas à la réunion V1∪V2∪...∪Vn puisque p(n)≥n car p est injective.
Celà est une contradiction.
Nous pouvons maintenant passer à la démonstration du premier théorème de Dini.

Tout d'abord on peut supposer que la suite (fn) est décroissante, sinon on remplace la suite (fn) et la fonction f par leurs opposées. Ensuite on peut supposer que f est nulle, sinon on remplace fn par fn-f.
Il résulte donc des hypothèses faites que tous les fn sont ≥0 sur D.
Fixons un réel ε>0.
Pour tout entier n désignons par Vn(ε)={x∈D | fn(x)<ε}
Par continuité des fn ces ensembles sont des ouverts.
La convergence simple des fn vers 0 entraîne qu'ils forment un recouvrement de K.
On peut donc en extraire un recouvrement fini, ce qui signifie qu'il existe un entier N(&epsilon) tel que K⊆ V1∪V2∪...∪VN(ε)
Mais par monotonie la suite Vn(ε) est croissante.
Donc V1∪V2∪...∪VN(ε)=VN(ε) et K=VN(ε).
Utilisant à nouveau l'hypothèse de monotonie si n≥N(ε) on a:
fn(x)≤fN(ε(x)≤&epsilon ∀x∈D.
D'où la convergence uniforme de fn vers 0 sur D.

Second théorème de Dini

Si D=[a,b] est un intervalle compact et si les fn sont des fonctions croissantes sur D, et si la suite (fn) converge simplement vers une fonction continue f sur D, alors la suite (fn) converge uniformément vers f sur D.

Comme nous l'avons vu, la fonction f est croissante. En outre, étant continue sur un compact, elle est uniformément continue sur ce compact.
Soit ε un réel >0.
On peut donc trouver une suite de points de D, a0=a<a1<a2<...<ak-1<ak=b, telle que:
∀i∈{0,1, ... ,k-1} f(ai+1)-f(ai)<ε/2
∀x∈[a,b] il existe un entier i tel que x∈[ai,ai+1]
La croissance de f et des fn et le choix de la subdivision impliquent (pour tout entier n):
fn(x)-f(x)≤fn(ai+1)-f(ai)≤fn(ai+1)-f(ai+1)+ε/2
et
fn(x)-f(x)≥fn(ai)-f(ai+1)≥fn(ai)-f(ai)-ε/2
Par convergence simple, pour chaque i il existe un entier N(i,&epsilon) tel que n>N(i,&epsilon)⇒ |f(ai)-fn(ai)|<ε/2
Posant N(ε)=Sup0≤i≤kN(i,&epsilon) on a |f(ai)-fn(ai)|<ε/2 ∀i∈{0,1,..,k} ∀n>N(ε)
D'où nous concluons |fn(x)-f(x)|≤ε ∀x∈D ∀n>N(ε). La convergence est donc uniforme.
Un exemple de suite convergent simplement mais non uniformément vers une fonction continue (la fonction nulle) sur l'intervalle compact [0,1].
fn(x)=n2xn(1-x)
Au début n=0.
Appuyer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n.
Appuyer sur le bouton 'n-' pour diminuer la valeur de n.

La suite n'est pas monotone et les fonctions ne sont pas croissantes.