Définition

D étant un sous-ensemble quelconque de ℝ, une 'suite de fonctions numériques' définies sur D est tout simplement une application de ℕ dans l'ensemble ℝD de toutes les fonctions numériques définies sur D. L'image de n se note, conformément à l'usage établi, fn et la suite, dans sa globalité (fn)n∈ℕ
Voici maintenant deux autres façons de voir:
Si fn est un élément d'une telle suite et si x est un élément de D, l'image par fn de x se note, conformément aux usages encore, fn(x).
Remarquons qu'on pourrait aussi bien noter cette image f(n,x), de sorte que:
Une suite de fonctions numériques définies sur D apparaît également comme une application du produit cartésien ℕ×D dans ℝ, f: (n,x) → f(n,x).
Cette remarque étant faite pour tout x ∈ D fn(x) est une suite de réels, de sorte que:
Une suite de fonctions définies sur D peut encore être vue comme une suite 'paramétrée' par une variable x de D.

Exemples de suites de fonctions

Voici une suite de fonctions (fn) définies sur ℝ par: fn(x)=xn.
Au début n=0.
Appuyer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n.
Appuyer sur le bouton 'n-' pour diminuer la valeur de n.

Voici un programme python pour la générer:

Voici une suite de fonctions (fn) définies sur ℝ par: fn(x)=sin(nx)
Au début n=0.
Appuyer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n.
Appuyer sur le bouton 'n-' pour diminuer la valeur de n.

Remarque: Bien que les figures formées aient des qualités estéthiques certaines, les représentations ne sont plus significatives pour des valeurs élevées de n au delà de 100.
Voici un programme python pour la générer:

Suites monotones

Les définitions sur celles des suites de réels.
Une suite (fn) de fonctions numériques définies sur D est dite 'croissante' (resp. strictement croissante) si n>m ⇒ fn(x)≥fm(x) (resp. fn(x)>fm(x)) ∀x∈D.
Une suite (fn) de fonctions numériques définies sur D est dite 'décroissante' (resp. strictement décroissante) si n>m ⇒ fn(x)≤fm(x) (resp. fn(x)<fm(x)) ∀x∈D.
Une suite (fn) de fonctions numériques définies sur D est dite 'monotone' (resp. strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante).

Séries

Comme dans le cas des suites de réels on peut définir les séries de fonctions définies sur D.
Une 'série' d'éléments de ℝD consite en la donnée simultanée de deux suites de fonctions de ℝD une suite (un) qualifiée de 'terme général' et une suite (sn) qualifiée de suite des 'sommes partielles', la relation entre les deux étant une relation de récurrence:
sn=sn-1+un
Soit encore sn(x)=u0(x)+u1(x)+ ... + un(x).
De sorte que pour tout x de D (s(x),u(x) est une série numérique au sens usuel.

Exemple de série de fonctions

Voici un exemple classique:
D=ℝ
un(x)=xn/n!
sn(x)=1+x+x2/2+x3/6+ ... + xn/n!
Au début n=0.
Appuyer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n.
Appuyer sur le bouton 'n-' pour diminuer la valeur de n.

Voici un programme python pour la générer: