Remarquons que si G est un ensemble structuré, par exemple un groupe un anneau ou un corps. Si F est un ensemble quelconque l'ensemble GF, de toutes les applications de F dans G devient imédiatement un ensemble structuré avec la même structure que G. Les lois sur GF sont en fait des lois produits (étendue à des produits infinis) puisque GF peut être vu comme un produit infini d'exemplaires de G indexés par F. Bien que nous ne l'ayons pas encore exprimé sous cette forme, c'est ce principe qui nous a permis d'établir que les suites de réels possédaient une structure d'espace vectoriel, et que les fonctions numériques définies sur un même ensemble possédaient aussi une structure d'espace vectoriel (et même d'algèbre).
Ce principe est transitif:
Puisque ℝD est un espace vectoriel. (ℝD) en est un aussi.
De fait le préambule devrait suffire à préciser ce que sont les lois mais pour plus de clarté nous allons les rappeler:
Si (fn) et (gn) sont deux suites de fonctions numériques (définies sur un même domaine D) alors leur 'somme' est la suite (hn) où ∀n ∈ ℕ hn(x)=fn(x)+gn(x) ∀x∈D.
Si (fn) est une suite de fonctions numériques (définies sur un même domaine D) alors le 'produit de cette suite par la scalaire λ' est la suite (hn) où ∀n ∈ ℕ hn(x)=λfn(x) ∀x∈D.
Cela s'applique évidemment aussi au produit:
Si (fn) et (gn) sont deux suites de fonctions numériques (définies sur un même domaine D) alors leur 'produit' est la suite (hn) où ∀n ∈ ℕ hn(x)=fn(x)×gn(x) ∀x∈D.
Comme nous l'avons vu précédemment les séries de fonctions numériques sont un cas particulier de suites de telles fonctions. Il en résulte que:
La somme de deux séries (sn(x),un(x)) (tn(x),vn(x)) est la série de terme général un(x)+vn(x) dont les sommes partielles sont égales à sn(x)+tn(x).
Le produit de la série (sn(x),un(x) par le scalaire λ est la série de terme général λun(x) et de sommes partielles λsn(x).
Par contre la situation est un peu plus complexe pour les produits de séries de fonctions numériques, parce que la somme des produits n'est pas le produit des sommes.
Nous définirons donc le produit de deux séries de fonctions numériques comme leur produit de convolution.
Le 'produit' (de convolution) de deux séries de fonctions numériques (sn(x),un(x) et (tn(x),vn(x)) (définies sur le même domaine D) est la série de fonctions (pn(x),wn(x)) où:
wn(x)=u0(x)vn(x)+u1(x)vn-1(x)+u2(x)vn-2(x)+ ... + un-1(x)v1(x)+un(x)v0(x) ∀x∈D.
Toutefois, dans ce cas pn n'est pas égal au produit sntn.