Tout comme dans le cas des suites de réels, les 'produits infinis de fonctions' sont des suites de fonctions récurrentes (pn,vn), toutes définies sur un même domaine D, satisfaisant à une relation du type:
pn+1(x)=pn(x).vn(x) ∀x∈D.
Le plus souvent nous écrirons la fonction vn(x) sous la forme 1+un(x), de sorte que, comme nous l'avons vu précédemment, si aucun des vn n'est la fonction nulle, une condition nécéssaire de convergence (simple) est limn→∞un(x)=0.
En outre une condition suffisante de convergence (toujours simple) est que la série de fonctions de terme général un(x) soit absolument convergente (revoir ce point).
Appliquant le critère de Cauchy de convergence uniforme, aux produits infinis nous avons le résultat suivant:
Le produit
Π(1+un(x))
n=0
est uniformément convergent sur D si ∀ε>0, on peut trouver N (ne dépendant que de ε et pas de x) tel que:
|
N+p
Π(1+un(x))
n=0
 - 
N
Π(1+un(x))
n=0
|
<ε
∀p p entier ≥0 et ∀x∈D.
Nous avons alors le théorème suivant:
Une condition suffisante pour que le produit infini
Π(1+un(x))
n=0
converge uniformément sur D, est que la série
Σun(x)
n=0
soit normalement convergente sur D.

Soit (an) une suite de réels positifs tels que: Une telle série existe d'après notre hypothèse.
Nous pouvons donc choisir N tel que:
|
N+p
Π(1+an)
n=0
 - 
N
Π(1+an)
n=0
|
<ε
Et nous avons alors:
|
N+p
Π(1+un(x))
n=0
 - 
N
Π(1+un(x))
n=0
|
=
|
N
Π(1+un(x))
n=0
(
N+p
Π(1+un(x))
n=N+1
 -  1
)
|
|
N+p
Π(1+un(x))
n=0
 - 
N
Π(1+un(x))
n=0
|
N
Π(1+an)
n=0
(
N+p
Π(1+an)
n=N+1
 -  1
)
|
N+p
Π(1+un(x))
n=0
 - 
N
Π(1+un(x))
n=0
|
ε
En pratique la série de terme général un(x) sera elle-même une série entière, nous aurons donc le rayon de convergence comme critère de décision.
Un cas classique est le produit infini:
Π
(
1 - 
x2

n2π2
)
n=1
qui est donc, compte tenu de ce qui précède, uniformément convergent dans tout intervalle [-a,+a] avec 0<a<1. On peut démontrer que la valeur de ce produit est sin(x)/x si x≠0, mais la preuve utilise des outils dont on ne dispose pas encore maintenant.