Une série de fonctions est appelée une 'série entière' si son terme général est un monôme de degré n.
un(x)=anxn (an constante réelle ∀n∈ℕ).
On peut donc associer une série entière à toute suite de réels (an)n∈ℕ
Rayon de convergence
Jacques Hadamard (1865/1963-FR)
Tout découle de la remarque suivante:
Si R est un nombre réel positif tel que la suite (anRn) soit bornée alors la série entière de terme général anxn est normalement convergente sur tout intervalle compact de la forme [-r;+r] où r<R.
La preuve est une application directe du critère de d'Alembert, sachant que si x ∈[-r;+r]: |anxn|≤anRn(rn/Rn)≤Ckn où C est une constante et k un réel positif <1 k=r/R.
Nous sommes donc amenés à chercher le plus grand des réels R tels que la suite anRn soit bornée. Une application directe de la règle de Cauchy nous dit que R est donné par la formule dite d'Hadamard:
1/R = lim sup n→∞ |an|1/n
La limite supérieure est à prendre ici dans la droire réelle achevée $\overline{\mathbb{R}}$, c'est à dire qu'elle peut être égale à +∞ auquel cas R=0. A l'autre extrêmité 1/R peut être nul et R est alors égal à +∞.
Le nombre R ∈ R donné par la formule ci-dessus s'appelle le 'rayon de convergence' de la série entière.
Exemples
Pour la série entière de terme général xn/n le rayon de convergence est 1 parce que limn→∞n1/n=1.
Pour la série entière de terme général xn/n! le rayon de convergence est +∞ parce que limn→∞(1/n!)1/n=0
Fonction somme
Soit (sn,un=anxn) une série entière de rayon de convergence R non nul.
Alors dans tout intervalle [-r,+r] avec r<R la série est normalement convergente, donc uniformément convergente. La limite est donc une fonction continue de x.
On note cette fonction:
s(x)
=
+∞
Σ
anxn
n=0
et on l'appelle la 'somme' de la série.
Exemples
Les polynômes sont des cas particuliers de sommes de séries entières pour lesquelles les coefficients sont tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux. ces séries ont donc un rayon de convergence infini.
Dans le cas de la série géométrique de rayon de convergence 1 on a:
s(x)=1/(1-x)
On trouve immédiatement cette formule par l'expression des sommes partielles:
sn(x)=(1-xn+1)/(1-x)
En utilisant le fait que par définition s(x)=limn→∞sn(x) et limn→∞xn=0 si x<1.
Remarque
Si le résultat principal assure la convergence normale dans tout intervalle [-r,+r] avec r<R, il ne dit rien quand x=-r et x=r. Dans l'exemple précédent il y a divergence de la série quand x=-1 ou x=+1, mais si on prend la série de terme général xn/n, il y a convergence pour x=-1 (série harmonique alternée) et divergence pour x=1 (série harmonique).
Produit de Cauchy (convolution)
Le produit de convolution de deux séries entières est défini comme un produit de convolution usuel de deux séries de fonctions.
On remarquera simplement que:
Le produit de deux séries entières est une série entière. Si (sn,un) a pour coefficients (an) et (tn,vn) a pour coefficients (bn)
alors s×t a pour coefficients (cn) où:
cn=anb0+an-1b1+ ... +a1bn-1+a0bn
Il résulte du théorème de Cauchy sur les produits de séries numériques que:
Si (sn,un) a pour rayon de convergence R1 et (tn,vn) a pour rayon de convergence R2 et si x<Inf(R1,R2). Si s est la somme de (sn,un) si t est la somme de (tn,vn) et si p est le produit de s et t alors p(x)=s(x)t(x).
