Définition

Une série de fonctions est appelée une 'série entière' si son terme général est un monôme de degré n.
un(x)=anxn (an constante réelle ∀n∈ℕ).
On peut donc associer une série entière à toute suite de réels (an)n∈ℕ

Rayon de convergence

Jacques Hadamard (1865/1963-FR)
Tout découle de la remarque suivante:
Si R est un nombre réel positif tel que la suite (anRn) soit bornée alors la série entière de terme général anxn est normalement convergente sur tout intervalle compact de la forme [-r;+r] où r<R.
La preuve est une application directe du critère de d'Alembert, sachant que si x ∈[-r;+r]:
|anxn|≤anRn(rn/Rn)≤Ckn où C est une constante et k un réel positif <1 k=r/R.
Nous sommes donc amenés à chercher le plus grand des réels R tels que la suite anRn soit bornée. Une application directe de la règle de Cauchy nous dit que R est donné par la formule dite d'Hadamard:
1/R = lim sup n→∞ |an|1/n
La limite supérieure est à prendre ici dans la droire réelle achevée $\overline{\mathbb{R}}$, c'est à dire qu'elle peut être égale à +∞ auquel cas R=0. A l'autre extrêmité 1/R peut être nul et R est alors égal à +∞.
Le nombre R ∈ R donné par la formule ci-dessus s'appelle le 'rayon de convergence' de la série entière.

Exemples

Fonction somme

Soit (sn,un=anxn) une série entière de rayon de convergence R non nul. Alors dans tout intervalle [-r,+r] avec r<R la série est normalement convergente, donc uniformément convergente. La limite est donc une fonction continue de x.
On note cette fonction:
s(x)=
+∞
Σanxn
n=0
et on l'appelle la 'somme' de la série.

Exemples

Remarque

Si le résultat principal assure la convergence normale dans tout intervalle [-r,+r] avec r<R, il ne dit rien quand x=-r et x=r.
Dans l'exemple précédent il y a divergence de la série quand x=-1 ou x=+1, mais si on prend la série de terme général xn/n, il y a convergence pour x=-1 (série harmonique alternée) et divergence pour x=1 (série harmonique).

Produit de Cauchy (convolution)

Le produit de convolution de deux séries entières est défini comme un produit de convolution usuel de deux séries de fonctions. On remarquera simplement que:
Le produit de deux séries entières est une série entière. Si (sn,un) a pour coefficients (an) et (tn,vn) a pour coefficients (bn) alors s×t a pour coefficients (cn) où:
cn=anb0+an-1b1+ ... +a1bn-1+a0bn
Il résulte du théorème de Cauchy sur les produits de séries numériques que:
Si (sn,un) a pour rayon de convergence R1 et (tn,vn) a pour rayon de convergence R2 et si x<Inf(R1,R2). Si s est la somme de (sn,un) si t est la somme de (tn,vn) et si p est le produit de s et t alors p(x)=s(x)t(x).

Série dérivée

Si (sn,un) est une série entière avec un(x)=anxn, on appelle série entière 'dérivée' de (sn,un) la série entière de terme général vn(x)=(n+1)an+1xn.
Nous verrons plus tard l'intérêt d'une telle notion. Remarquons simplement que:
Une série entière et sa série dérivée ont toujours même rayon de convergence.

Café Python

Voici un exemple de calcul des sommes partielles d'une série entière.