Définition

On appelle 'série trigonométrique' (réelle) toute série de fonctions (un,sn) dont le terme général est donné par:
un(x)=ancos(nx)+bnsin(nx)
où ∀n ∈ℕ an et bn sont des constantes réelles.
Les séries trigonométriques sont donc, comme les séries entières, des suites de fonctions particulières.

Remarque

Nous allons maintenant donner quelques conditions suffisantes pour la convergence d'une série trigonométrique.

Premier cas

Supposons que la série de terme général |an|+|bn| soit convergente alors la série trigonométrique de terme général un(x)=ancos(nx)+bnsin(nx) est normalement convergente sur ℝ.
En effet |un(x)|≤|ancos(nx)|+|bnsin(nx)|≤|an|+|bn| ∀x∈ℝ.

Remarques

Exemple

La série de terme général (1/(n²+1))sin(nx)+(1/(n+1)3)cos(nx) est normalement convergente sur ℝ.

Second cas

La condition suffisante énoncée plus haut est assez forte. De fait on peut assurer la convergence des séries trigonomériques avec des hypothèses beaucoup plus faibles.
Nous utiliserons pour cela le Théorème de Dirichlet. Nous utiliserons également la somme des n premiers termes d'une progression géométrique complexe, ainsi que la notation exponentielle des nombres complexes.
Voici notre énoncé:
Supposons que (an) et (bn) soient des suites à termes positifs, décroissantes et tendant vers zéro, dans ces conditions la série trigonométrique de terme général un(x)=ancos(nx)+bnsin(nx)
est simplement convergente pour tout x≠2kπ.
En outre la convergence est uniforme sur tout intervalle de la forme [2kπ+α,(2k+2)π-α] où k ∈ℤ et où α est un réel vérifiant 0<α<π.

Nous avons besoin du lemme suivant:
Si Cn(x)= 1+cos(x)+cos(2x)+ ......+ cos(nx) et Sn(x)=sin(x)+sin(2x)+ .....+ sin(nx) Alors:
Cn(x)=
cos(nx/2)×
sin((n+1)x/2)

sin(x/2)

Sn(x)=
sin(nx/2)×
sin((n+1)x/2)

sin(x/2)
Ce résultat a déjà été démontré ici. Il suffit maintenant de remarquer que si x ≠2kπ
sin(0x)+sin(x)+sin(2x)+ ... + sin(nx) ≤1/|sin(x/2)|
cos(0x)+cos(x)+cos(2x)+ ... + cos(nx) ≤1/|sin(x/2)|
Il suffit donc d'appliquer le théorème de Dirichlet aux deux séries (ansin(nx)) et (bncos(nx)) pour obtenir la première assertion de l'énoncé.
Pour la seconde partie remarquons que si x ∈ [2kπ+&alpha,(2k+2)π-α] alors:
x/2 ∈ [kπ+α/2,(k+1)π-α/2]
Donc sin(x/2)≥sin(α/2)
on a donc si q≥p≥n
|sin(px)+sin((p+1)x)+ ...+sin(qx)|≤1/|sin(α/2)|
|cos(px)+cos((p+1)x)+ ...+cos(qx)|≤1/|sin(α/2)|
D'où nous tirons;
|apsin(px)+ap+1sin((p+1)x)+ ...+aqsin(qx)|≤2an+1/|sin(α/2)|
|bpcos(px)+bp+1cos((p+1)x)+ ...+aqcos(qx)|≤2bn+1/|sin(α/2)|
Et comme (an) et (bn) tendent vers 0, la convergence uniforme en résulte.

Exemples

Un exemple

On visualise ici la série trigonométrique définie ainsi par ses coefficients:
bn=0 ∀n
a0=π/2 ,a2n=0 ,a2n+1=-4/(π(2n+1)2)
On observera que la somme de la série sur ]-π,π[ est |x|.
Au début n=0. Appuyer sur le bouton 'n+' pour augmenter la valeur de n de deux unités.
Appuyer sur le bouton 'n-' pour diminuer la valeur de n de deux unités.

Cette propriété sera vérifiée (non démontrée) dans cet exercice.