Définition

Soit (un) une suite de réels. Un 'point d'accumulation' de cette suite est un nombre réel a possédant la propriété suivante:
∀ε>0 on peut trouver une infinité de valeurs de n pour lesquelles |un-a|<ε
On peut encore énoncer cette propriété ainsi:
a est un point d'accumulation de la suite (un) si et seulement si: ∀N∈ℕ ∃ n>N tel que |un-a|<ε
Voici maintenant une troisième formulation équivalente:
Les points d'accumulation de (un) sont exactement les limites des suites extraites de (un).
Le fait qu'une limite d'une suite extraite soit un point d'accumulation résulte directement de la définition d'une suite extraite et de la définition d'une limite.
Pour voir qu'un point d'accumulation est limite d'une suite extraite, on prend la seconde définition, et on donne à N les valeurs 0,1,2, ....Pour chaque N nous désignons par p(N) l'entier n tel que |un-a|<ε. Alors la suite extraite (up(n)) de u converge évidemment vers a.

Exemples

  1. Si la suite (un) converge vers a alors a est un point d'accumulation de (un) est c'est le seul.
  2. Si (un) est une suite périodique de période k, alors u0,u1, ... ,uk-1 sont k points d'accumulation de la suite (un). On peut montrer que ce sont les seuls (voir exercice).
  3. Soit n→rn une énumération des rationnels. Alors pour la suite (rn) tout réel est un point d'accumulation (voir exercice).
  4. La suite u des entiers un=n ∀n∈ℕ ne possède aucun point d'accumulation (voir exercice).
L'appliquette suivante montre les termes successifs d'une suite admettant deux points d'accumulation.
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Le théorème de Bolzano-Weierstrass

Ce résultat très important peut s'énoncer de diverses manières. En voici deux, manifestement équivalentes:
Toute suite bornée de nombres réels possède au moins un point d'accumulation.
De toute suite bornée on peut extraire au moins une suite partielle convergente.

Supposons, dans un premier temps, que la suite (un) se trouve dans l'intervalle ]0,1[, de sorte que tous les un sont représentables par des D.D.I. du type 0,a0a1a2...an... On considère d'abord l'ensemble des valeurs de la première décimale a0 des éléments de la suite. Ces valeurs sont en nombre fini il y en a 10 qui sont 0,1,2, ...,9. Nous avons donc forcément une valeur b0, telle que pour une infinité de valeurs de n la première décimale de un soit b0. On a donc une sous-suite (vn) de (un) pour laquelle tous les éléments ont une première décimale égale à b0. Considérons maintenant les secondes décimales des éléments de la suite (vn), le même raisonnement s'applique. Il existe une valeur b1 telle que pour une infinité de valeurs de n la seconde décimale de vn soit égale à b1. Et ainsi de suite, soit b le nombre 0,b1b2b3...bn..... Il est clair que b possède la propriété suivante:
Pour tout entier k>0 il existe une infinité de valeurs de n pour lesquelles |un-b|<1/10k. b est donc un point d'accumulation de la suite (un).
Si maintenant la suite (un) n'est pas dans ]0,1[ mais dans ]m,M[, on peut par une contraction et une translation se ramener à une suite possédant cette propriété.