Définitions

Nous avons déjà rencontré les notions de majorant, minorant.
Nous avons également vu ce qu'est un ensemble majoré (minoré), ainsi que la définition d'une borne supérieure.
Tout cela s'applique en particulier aux suites.
La suite (un)n∈ℕ est 'majorée' s'il existe un nombre réel M, tel que un<M ∀n∈ℕ.
La suite (un)n∈ℕ est 'minorée' s'il existe un nombre réel m, tel que un>m ∀n∈ℕ.
La suite (un)n∈ℕ est 'bornée' si elle est majorée et minorée, c'est à dire s'il existe un nombre réel M, tel que |un|<M ∀n∈ℕ.

Exemples

  1. Toutes les suites croissantes sont minorées (par le terme initial).
  2. Toutes les suites décroissantes sont majorées (par le terme initial).
  3. Les progressions géométriques de raison 0≤q≤1 sont bornées.
  4. Les progressions géométriques de raison q < -1 et de premier terme non nul ne sont ni majorées ni minorées.
  5. Une progression arithmétique de raison r > 0 n'est pas bornée supérieurement

Théorème important

Le résultat suivant est d'une importance capitale en analyse.
Tout sous-ensemble majoré (resp. minoré) de ℝ, donc en particulier toute suite majorée (resp. minorée) possède une borne supérieure, resp. borne inférieure).

Supposons par exemple que X est un sous-ensemble de l'intervalle ]0,1[, de sorte que tous les éléments x de X s'écrivent sous la forme d'un développement décimal illimité x=0,a0a1a2... an ...où les 0≤ai≤9 sont les décimales successives de x.
Posons b0=Sup(a0(x)) x ∈ X
b1=Sup(a1(x)) x ∈ X
.................
bi=Sup(ai(x)) x ∈ X
et soit B le nombre dont le développement décimal (illimité) est 0,b0b1b2...bn..... Alors il est clair que B est un majorant de X.
De plus considérons la suite de rationnels:
x0=0,b0
x1=0,b0b1
......
xn=0,b0b1...bn
Pour tout i il existe un elément x de X vérifiant x ≥ xi. La suite (xn) est croissante et majorée par B.
De par la définition de cette suite, on peut trouver des xi aussi voisins de B qu'on veut, donc aussi des éléments de X aussi voisins de B qu'on veut.
B est donc bien une borne supérieure pour X.
Si maintenant X n'est pas inclus dans l'intervalle ]0,1[, disons X ⊆ ]a,b[, alors posant k=1/(b-a), l'application f: x →k(x-a) applique X sur un ensemble Y=f(X) inclus dans ]0,1[, cette application est croissante, si M est la borne supérieure de Y, f(M) est la borne supérieure de X.
On raisonne de même pour les bornes inférieures.