Montrons d'abord que si u est convergente c'est une suite de Cauchy.
Soit a la limite de u. On a alors:
u
p-u
q=(u
p-a)+(a-u
q)
D'où l'inégalité:
|u
p-u
q|≤|u
p-a|+|a-u
q|
Soit ε>0 et soit N tel que:
n>N ⇒ |x
n-a|<ε/2
Alors si p et q sont ≥N on a:
|u
p-u
q|<ε/2+ε/2=ε
Supposons réciproquement que u soit une suite de Cauchy, alors u est nécessairement
bornée.
D'après le théorème de
Bolzano-Weierstrass on peut extraire de u une suite convergente u
p(n).
Soit a la limite de la suite u
p(n).
u
n-a=u
n-u
p(n)+u
p(n)-a
D'où nous tirons comme précédemment:
|u
n-a|≤|u
n-u
p(n)|+|u
p(n)-a|
Soit ε>0.
Il existe N
1 tel que pour p,q >N
1 on a |u
p-u
q|<ε/2 parce que u est une suite de Cauchy.
Il existe N
2 tel que n>N
2 ⇒ |u
p(n)-a|<ε/2 puisque u
p(n) converge vers a.
Mais p étant injective on a p(n)>n.
Donc si n>N
1 on a aussi p(n)>N
1 donc |u
n-u
p(n)|<ε/2
Posons maintenant N=Max(N
1,N
2).
Il est clair que si n>N on a |u
n-a|<ε
Ce qui prouve que u converge vers a.
Soit u une suite convergente (donc de Cauchy), et soit a sa limite. Soit ε un réel >0 et soit N tel que:
p,q>N ⇒ |up-uq|<ε
Alors on a aussi:
|up-a|≤ε si p>N.