Définition

Nous avons déjà rencontré le concept de 'suite de Cauchy'. Cette notion avait été utilisée pour une construction des nombres réels.
La définition reste la même pour les suites de nombres réels.
On dit que la suite (un)n∈ℕ est une 'suite de Cauchy' si elle possède la propriété suivante:
∀ε>0 ∃N| (p>N et q>N) ⇒ |xp-xq|<ε
Naturellement, comme dans le cas de la définition de la convergence, le nombre N dépend de ε de sorte qu'en toute logique on devrait le noter N(ε). En outre on peut supposer ε plus petit que tout nombre donné à l'avance (mais >0) et remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges.
Concernant les suites de Cauchy de nombres réels nous avons le résultat suivant:
Soit u=(un)n∈ℕ une suite de réels. il y a équivalence entre:

Montrons d'abord que si u est convergente c'est une suite de Cauchy.
Soit a la limite de u. On a alors:
up-uq=(up-a)+(a-uq)
D'où l'inégalité:
|up-uq|≤|up-a|+|a-uq|
Soit ε>0 et soit N tel que:
n>N ⇒ |xn-a|<ε/2
Alors si p et q sont ≥N on a:
|up-uq|<ε/2+ε/2=ε
Supposons réciproquement que u soit une suite de Cauchy, alors u est nécessairement bornée.
D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass on peut extraire de u une suite convergente up(n).
Soit a la limite de la suite up(n).
un-a=un-up(n)+up(n)-a
D'où nous tirons comme précédemment:
|un-a|≤|un-up(n)|+|up(n)-a|
Soit ε>0.
Il existe N1 tel que pour p,q >N1 on a |up-uq|<ε/2 parce que u est une suite de Cauchy.
Il existe N2 tel que n>N2 ⇒ |up(n)-a|<ε/2 puisque up(n) converge vers a.
Mais p étant injective on a p(n)>n.
Donc si n>N1 on a aussi p(n)>N1 donc |un-up(n)|<ε/2
Posons maintenant N=Max(N1,N2).
Il est clair que si n>N on a |un-a|<ε
Ce qui prouve que u converge vers a.

Estimation de la différence un-a pour u convergente.

Soit u une suite convergente (donc de Cauchy), et soit a sa limite. Soit ε un réel >0 et soit N tel que:
p,q>N ⇒ |up-uq|<ε
Alors on a aussi:
|up-a|≤ε si p>N.

Soit donc ε et N tels que p,q>N ⇒ |up-uq|<ε
On a |up-a|≤|up-uq|+|uq-a|
Soit n un entier >1 et soit M(n,ε) tel que:
q>M(n,ε) ⇒ |uq-a|<ε/n
Donc en prenant q>Max(N,M(n,ε)) on obtient |up-a|≤ε+ε/n
Donnant à n des valeurs de plus en plus grandes on a:
|up-a|≤ε