La notion de limite est le fondement même de l'analyse mathématique. Aussi ce paragraphe est d'une extrême importance. Il importe de bien comprendre cette première formalisation de la notion de limite d'une suite de réels lorsque l'indice tend vers l'infini, parce que toutes les autres notions (limite d'une fonction numérique, dérivée, intégrale définie) seront strictement calquées sur ce modèle.

Observations préliminaires

Commençons par observer le comportement de certaines suites déjà données en exemples dans ce cours sur les suites:
  1. La suite de Fibonacci semble assez régulière. Elle est croissante, les termes successifs deviennent de plus en plus grands et de plus en plus rapidement. La définition même de cette suite suggère que ce phénomène ne fera que s'amplifier quand n continue à grandir. On peut donc faire un pronostic pour se qu'il se passe quand n va devenir très grand.
    L'appliquette suivante montre les termes successifs de la suite de Fibonacci.
    Au début, il n'y a que le premier, appuyez sur le bouton 'Suivant' pour en voir un de plus.
    Appuyez sur 'Recommencer' pour recommencer depuis le début.
  2. La suite nsin(n) parait totalement anarchique. Elle n'est ni bornée ni monotone ni périodique. Quand n prend des valeurs grandes un peut être positif ou négatif, très grand ou très petit en valeur absolue. Il semble impossible de pouvoir se livrer à la moindre prédiction quand n va devenir de plus en plus grand. Disons que cette suite 'oscille' et même pas à l'intérieur de bornes fixes.
    L'appliquette suivante montre les termes successifs de cette suite. Au début, il n'y a que les deux premiers, appuyez sur le bouton 'Suivant' pour en voir un de plus. Appuyez sur 'Recommencer' pour recommencer depuis le début.
  3. La suite récurrente un+1=un+1/n est évidemment croissante mais sa croissance semble très lente comparée à la suite de Fibonacci. Il est difficile de prédire si cette suite est bornée.
    L'appliquette suivante montre les termes successifs de cette suite.
  4. La même remarque que la précédente s'applique à la suite un=un-1+1/n² dont la croissance semble encore plus lente que la précédente. Impossible de dire, sur une simple observation si cette suite est bornée ou non.
    L'appliquette suivante montre les termes successifs de cette suite.
  5. Pour la suite un=√(2+un-1). Il semble qu'il s'agisse d'une suite croissante, dont les termes restent en dessous de la valeur 2, qui sont très vite très voisins de 2, et "d'autant plus voisins de 2 que n est grand". C'est ce comportement sur lequel nous allons nous concentrer ici.
    L'appliquette suivante montre les termes successifs de cette suite.
  6. L'exemple un=n1/n nous montre une suite d'abord croissante, puis décroissante. Il semble que dans sa phase de décroissance tous les termes de la suite restent au dessus de la valeur 1, mais rien ne nous permet, pour le moment d'affirmer cela avec une certitude absolue. A ce stade, l'affirmation selon laquelle "plus n grandit et plus un est voisin de 1" reste une conjecture, la possibilité subsiste que un descende en dessous de 1, ou bien au contraire ne puisse s'approcher de 1 "d'aussi près qu'on veut".
    L'appliquette suivante montre les termes successifs de cette suite.

Définitions

Notre but est ici d'apporter un peu plus de rigueur dans tous les prédicats de la section précédente. On s'intéresse plus particulièrement aux derniers exemples, c'est à dire aux cas où quand n grandit un semble s'approcher d'une valeur fixe finie, qu'on appelera une 'limite'.
Intuitivement, la suite (un) tend vers la limite a (a nombre réel donné) si:
Ou bien encore:
Il s'agit ici d'affirmations encore vagues demandant à être formalisées et quantifiées.
C'est Louis Augustin Cauchy qui, le premier, a amené de la rigueur dans ce type d'énoncés.

Voici donc maintenant la définition formelle de la notion de convergence d'une suite de nombres réels:
a désignant un nombre réel, on dit que la suite (un)n∈ℕ 'converge' vers a ou bien admet a pour 'limite' si: ∀ε>0 ∃N tel que n>N ⇒ |un-a|<ε.
Notation:
Le nombre a est limite de la suite (un)n∈ℕ s'écrira de manière condensée:

Visualisation du processus de convergence

Voici une appliquette qui vous permet de voir les rôles respectifs du paramètre ε (réel) et de l'entier N (dépendant évidemment de ε). Une suite tend vers une limite a matérialisée par une ligne horizontale de couleur rouge (droite y=a).
Vous pouvez faire varier ε à l'aide de la réglette.
Le N(ε) est alors calculé automatiquement et matérialisé par une verticale verte.
Les horizontales de couleur bleur représentent les droites d'équation y=a-ε et y=a+ε.
L'énoncé dit qu'aucun point de la suite ne doit se trouver en dehors du rectangle délimité par la verticale verte et les deux horizontales bleues.
N'hésitez pas à utiliser les outils en bas à droite de la zone graphique pour zoomer et se déplacer sur le graphique.
Choix de ε : Valeur de ε : Valeur de N(ε) :

Remarques concernant la définition formelle

Formalisation totale

Avant de continuer effectuons quelques remarques:
On pourra réviser les notions de logique élémentaire.
Le N dont est annoncée l'existence dépend bien évidemment de ε et de a, il faudrait donc en toute rigueur le noter N(a,ε).
La définition de la convergence s'écrit donc, en langage formalisé:
∀ε>0(∃N(a,ε)(n>N⇒|un-a|<ε)
Désignons maintenant par R(n,N) la relation n>N et par S(n,ε,u,a) la relation |un-a|<ε.
Sachant que R⇒S équivaut à S∨¬R, (voir implication) nous obtenons:
∀ε>0(∃N(a,ε)(∀n(S(n,ε,u,a)∨¬R(n,N))))

Non convergence

Examinons maintenant la négation de cette affirmation.
∃ε>0(∀N(∃n(¬S(n,ε,u,a)∧R(n,N))))
D'où nous concluons:
a n'est pas limite de la suite (un)n∈ℕ peut s'écrire:
Il existe un réel ε>0 tel que pour tout entier N on peut trouver n>N tel que |un-a|≥ε.
Tout comme il est important de savoir écrire logiquement la convergence d'une suite vers une limite, il est également important de savoir exprimer le contraire.

Conditions sur ε

Voyons maintenant les hypothèses supplémentaires que l'on peut formuler sur ε
On peut, sans restreindre la généralité supposer que ε est <1 en effet si la propriété est vraie ∀ε'<1, elle est vraie a fortiori pour tout ε >0 car si ε> ε' alors |un-a|<ε dès que un-a|<ε'.
La valeur 1 ici n'a aucune importance. on aurait pu tout aussi bien prendre 1/2 ou 1/3 ou n'importe quelle valeur >0.
La première partie de l'assertion peut donc être comprise avec un sous-entendu comme ∀&epsilon>0 (aussi petit soit-il).
De plus comme est dense dans ℝ on peut si on veut supposer que ε est rationnel.
Par contre l'inégalité stricte ε>0 est fondamentale car si &epsilon=0 alors la relation |un-a|<ε n'est JAMAIS vérifiée.

Importance des autres inégalités dans la définition

Reprenons la définition formelle de la convergence de la suite (un)n∈ℕ vers a:
∀ε>0 ∃N tel que n>N ⇒ |un-a|<ε
On a vu qu'on ne pouvait toucher à la première ingélité stricte ε>0, mais peut-on remplacer les deux autres:
n>N et |un-a|<ε par des inégalités larges, comme ceci:
∀ε>0 ∃N tel que n≥N ⇒ |un-a|≤ε
Pour la première c'est évident car la condition n>N est équivalente à n≥N+1, donc s'il existe un N tel que n>N ⇒ ... alors il existe N'=N+1 tel que n≥N' ⇒ ......
Pour la seconde c'est non moins évident car une propriété qui est vraie ∀ε est vraie pour un epsilon donné et aussi pour sa moitié.
De plus la relation |un-a|≤ε/2 implique bien |un-a|<ε alors que la relation |un-a|<ε implique évidement |un-a|≤ε.
En conclusion on peut, si on veut, remplacer les deux dernières inégalités par des inégalités larges et prendre pour définition de la convergence de la suite (un)n∈ℕ vers a:
∀ε>0 ∃N tel que n≥N ⇒ |un-a|≤ε

Etude d'un cas pratique

Nous verrons par la suite que la plupart du temps il n'est pas indispensable de revenir à la définiton pour prouver qu'une suite converge vers une limite donnée. Mais on n'a parfois aucun autre recours.
Voyons en pratique comment on s'y prend pour démontrer, par exemple, que la suite donnée ici en exemple n°6 soit un=n1/n converge bien vers la constante 1.
La suite étant clairement minorée par 1, il suffit d'établir que ∀ε>0 il existe un entier N tel que:
n>N ⇒ n1/n-1 < ε
L'inégalité à démontrer est donc équivalente à:
n <(1+ε)n pour n suffisamment grand.
On peut comme on la vu plus tôt supposer que ε est rationnel et même de la forme 1/k avec k entier >1.
Tout revient donc à démontrer que:
n<(1+1/k)n pour n suffisamment grand, soit encore:
(k+1)n-nkn>0 pour n suffisamment grand.
En utilisant le début du développement du binôme dont tous les termes sont positifs nous pouvons écrire:
(k+1)n-nkn>kn+nkn-1+(n(n-1)/2)kn-2-nkn
soit encore:
(k+1)n-nkn>(0.5n2+αn+β)kn-2
où α=(k-k²-1/2) et β=k²
Le signe de (k+1)n-nkn est donc le signe de 0.5n2+αn+β, binôme du second degré en n et comme le coefficient dominant est 0.5>0 pour n suffisamment grand ce binôme sera positif.

Propriétés

Un résultat extrêmement important est le suivant:
Si une suite converge, elle ne peut converger que vers une seule limite.

Supposons que (un) tende vers a et b avec a≠b.
Supposons b>a et posons ε=(b-a)/2
Donc il existerait N1 tel que n>N1 ⇒|un-a|<ε
il existerait aussi N2 tel que n>N2 ⇒|un-b|<ε
Donc si on pose N3=max(N1,N2) et si n>N3 on a simultanément:
|un-a|<ε et |un-b|<ε
Utilisant l'inégalité triangulaire nous en concluons:
|a-b|<2ε
ce qui est une contradiction.
Voici une appliquette qui permet de visualiser pourquoi la limite doit forcément être unique. Pour ε suffisamment petit les deux rectangles bleu et vert ne se coupent plus; il est donc impossible que tous les points de la suite pour n>N se trouvent dans l'un ET dans l'autre.
Choix de ε : Valeur de ε : Valeur de N(ε) :
Une suite convergente est nécessairement bornée.

En effet soit ε un nombre >0 et soit N tel que n>N ⇒ |un-a|<ε
On a donc |un|< M2=a+ε pour n> N.
Posons maintenant M1=Sup(|u0|,|u1|, ... ,|uN|)
Alors il est clair que si M=Sup(M1,M2), on a: |un| ≤M &forall n.
Toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite.

Soit en effet vn=u(p(n)) une suite extraite de (un). On suppose que (un) converge vers la limite a. Soit ε un nombre réel positif. Il existe donc un entier N tel que n>N &rArr |un-a|<ε. Comme n →p(n) est strictement croissante on a en particulier p(n)>n ∀n. donc si n>N |up(n)-a|< ε qui peut encore s'écrire |vn-a|<ε.
Aucune suite périodique ne peut être convergente sauf si elle est stationnaire.

Supposons par exemple que u soit périodique de période k avec u0≠u1. Considérons la suite s définie par sn=ukn, cette suite extraite de u est stationnaire et converge donc vers u0.
Considérons la suite t définie par sn=ukn+1, cette suite extraite de u est stationnaire et converge donc vers u1. Donc si u était convergente, en vertu du résultat qui précède, les suites s et t devraient tendre vers la même limite que u.

Quelques (très) mauvaises définitions

La plupart des 'mauvaises' définitions résultent d'un mélange du langage courant et du langage mathématique.
Ainsi dans le langage courant la notion de 'limite' véhicule l'idée de quelque chose dont on se rapproche mais qu'on ne peut jamais atteindre.
Rien de tel pour la notion mathématique de limite (par exemple pour les suites). Une suite peut tout à fait prendre des valeurs égales à la limite. D'ailleurs si on prend une suite stationnaire (constante), il est facile de prouver qu'elle converge vers son terme initial (constant), une telle suite est donc une infinité de fois égale à sa limite. Mais il est possible qu'une suite n'atteigne jamais sa limite, ce sera par exemple le cas des suites strictement monotones.
Un autre exemple de 'mauvaise' définition (par manque de précision) est le suivant:
La suite (un) tend vers a si plus n est grand et plus un se rapproche de a.
Avec une telle définition notre exemple traité (la suite n1/n) tendrait également vers 0 vers -1, etc....

A quoi servent les ordinateurs?

Pour le problème qui nous préoccupe ici, à savoir la convergence des suites. Les ordinateurs peuvent être utilisés principalement pour: Les programmes qui peuvent établir l'existence d'une limite sont des programmes qui font du raisonnement, donc du calcul formel avec des prédicats. La plupart du temps ils sont incapables de décider de la stratégie de preuve. On admet que majoritairement les raisonnements qui conduisent à l'existence d'une limite pour une suite sont toujours et sans doute pour longtemps encore d'origine humaine.

Voici le résultat de l'exécution:
1.25892541179
1.04712854805
1.00693166885
1.00092145832
Pour les valeurs très grandes de n le calcul des termes un est sujet à caution. Une étude d'analyse numérique est donc toujours souhaitable pour s'assurer de la validité des résultats voir à ce sujet représentation des réels en machine.