Définitions

Nous avons déja rencontré la notion de 'suite extraite' dans un cadre plus général.
Cette notion est importante pour de nombreuses raisons quand on s'intéresse au comportement asymptotique d'une suite (à ce qui se passe quand n devient très grand). En effet, il existe un grand nombre de propriétés (être monotone, bornée, et d'autres que nous verrons plus tard) que possèderont toutes les suites extraites d'une suite d'origine par héritage de la suite 'mère'. De sorte qu'en pratique on peut utiliser cela pour démontrer que la suite mère ne possède pas telle ou telle propriété en montrant des sous-suites qui ne la possèdent pas. On pourra dans d'autres cas, scinder la suite mère en deux ou plusieurs sous-suites et étudier séparément chacune d'elles.
Rappelons les définitions:
Une suite (vn) n∈ℕ est appelée suite 'extraite' de (un) n∈ℕ s'il existe une application strictement croissante p: ℕ→ℕ telle que vn=up(n) ∀n∈ℕ
Au lieu de 'suite-extraite' on dit aussi parfois 'sous-suite' ou 'suite partielle'.
Une suite partielle est donc composée de valeurs de sa suite-mère, sans 'stagnation' au niveau des indices.
Voici un programme python qui construit aléatoirement des sous-suites d'une progression arithmétique.

L'appliquette suivante montre les termes successifs d'une suite sin(n) (en rouge) et d'une suite extraite de celle-ci (en rouge plus foncé, surchargé).
Au début, il n'y a que les deux premiers, appuyez sur le bouton 'Suivant' pour en voir un de plus.
Appuyer sur '+10 pour en voir 10 de plus d'un coup.
Appuyez sur 'Recommencer' pour recommencer depuis le début.
Vous pouvez modifier la fonction p (choix seulement entre 3 possibilités pour p(n) :2n, n2, n/2+3).

p(n)=2×n p(n)=n2 p(n)=n+n/2

Propriétés

Toute suite extraite d'une suite monotone est elle-même monotone.
Remarque: La réciproque est fausse on peut dans une suite non monotone extraire des sous-suites monotones.(voir exercice)
Toute suite extraite d'une suite bornée est elle-même bornée.
Remarque: La réciproque est fausse on peut dans une suite non bornée extraire des sous-suites bornées.(voir exercice)
Cependant:
En général, une suite extraite d'une suite périodique n'est pas périodique.(voir exercice)