Définitions

Nous nous intéressons ici à des cas comme: Toutefois, les exemples donnés plus haut correspondent à des suites qui sont toutes croissantes, mais ce n'est pas cet aspect des choses qui nous concerne. Ce qui nous intéresse c'est que le terme général de la suite devient de plus en plus grand 'jusqu'à dépasser n'importe quel nombre donné à l'avance (aussi grand soit-il)'.
Contrairement à ce que l'intuition pourrait suggérer, ce phénomène est indépendant de la croissance et peut se produire avec d'autres suites, comme celle-ci: la suite un=n+(-1)n×2:
L'appliquette suivante montre les termes successifs d'une telle suite.
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Il est maintenant grand temps de formaliser cette définition.
On dit qu'une suite (un) 'tend vers l'infini' (positif), et on écrit:
lim n u n = + Si ∀M∈$\mathbb{R}$ ∃N ∈ $\mathbb{N}$ tel que n>N ⇒ un>M
Cette terminologie est fâcheuse car l'expression 'tend vers' suggère l'existence d'une limite au sens du paragraphe précédent, ce qui n'est pas le cas ici.
Aussi au lieu de 'tend vers +∞' on dit plus justement 'diverge vers +∞'.
De la même façon nous définissons les suites 'tendant vers -∞' ou 'divergeant vers -∞':
On dit qu'une suite (un) 'tend vers l'infini' (négatif), et on écrit:
lim n u n = - Si ∀m∈$\mathbb{R}$ ∃N ∈ $\mathbb{N}$ tel que n>N ⇒ un<m
L'appliquette suivante montre les termes successifs d'une telle suite.
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Remarques concernant les définitions.

Formalisation totale

Avant de continuer effectuons quelques remarques:
On pourra réviser les notions de logique élémentaire.
Le N dont est annoncée l'existence dépend bien évidemment de M, il faudrait donc en toute rigueur le noter N(M).
La définition de la divergence vers +∞ s'écrit donc, en langage formalisé:
∀M(∃N(M)(n>N⇒un>M)
Désignons maintenant par R(n,N) la relation n>N et par S(n,M,u) la relation un>M.
Sachant que R⇒S équivaut à S∨¬R, (voir implication) nous obtenons:
∀M(∃N(M)(∀n(S(n,u,M)∨¬R(n,N))))

Négation

Partons de la formalisation totale pour exprimer qu'une suite ne diverge pas vers +∞.
Ecrivons donc sa négation:
∃M(∀N(∃n(¬S(n,u,M)∧R(n,N))))
qui se traduit en langage semi-formalisé par:
Il existe un nombre M, tel que pour tout entier N, on peut trouver n>N vérifiant un≤M.
En regardant de près cette formulation on voit qu'on peut l'exprimer ainsi:
Une suite ne tend pas vers +∞ si elle possède une suite extraite bornée.

Le symbole ∞

Nous avons vu intervenir le symbole ∞ dans des formules telles que:
lim n u n = a Nous avons vu qu'il s'agit là d'un raccourci pour exprimer ce qui se passe quand n devient de plus en plus grand ( n→∞).
Mais également à droite du signe d'égalité dans une écriture comme:
lim n u n = + pour exprimer que le terme général lui-même devenait de plus en plus grand.
Dans un cas comme dans l'autre, le symbole ∞ n'a (pour le moment) aucun sens pris isolément. En particulier il ne désigne pas un nombre particulier.

Remarque concernant la forme générale de l'assertion

Les deux définitions (convergence vers une limite finie et divergence vers l'infini) ont une même structure logique que l'on peut schématiser par:
∀ .... ; ∃ .... | ...... ⇒ ..... C'est un schéma auquel il faut s'habituer parce que nous le retrouverons dans beaucoup d'autres situations:

Remarque concernant les symboles M,m

Nous pouvons faire en ce qui concerne le symbole M dans le cas de la divergence vers +∞ à peu près les mêmes remarques que pour ε dans le cas des limites finies.
En particulier on peut supposer que N est positif, car si la propriété est vraie pour tout M positif elle est vraie à plus forte raison pour tout entier M (positif ou négatif).
On peut, si on veut supposer que M>100 ou bien que M>10000. Une fois de plus, cela ne restreint en rien la généralité.
Bien que cela ne soit pas forcément d'une grande utilité pour les démonstrations, on peut également supposer que M est entier.
Les mêmes remarques s'appliquent (mutatis mutandis) au symbole m dans le cas de la divergence vers -∞.

Type des inégalités

Exactement comme dans le cas de la convergence vers une limite finie, on peut remplacer les inégalités strictes par des inégalités larges. L'énoncé obtenu:
∀M∈$\mathbb{R}$ ∃N tel que n≥N ⇒ un≥M
étant strictement équivalent à l'énoncé initial.

Quelques propriétés

Nous allons examiner cette nouvelle notion (suites tendant vers un infini) et la confronter avec les notions vues précédemment, pour écrirer quelques résultats qui sont presque tous des évidences.
Une suite bornée ne peut pas tendre vers un infini.
Supposons en effet |un|<B ∀n avec B>0. Soit M=2B, on ne peut avoir à la fois |un|<B et un >M.
Toute suite extraite d'une suite tendant vers un infini tend vers le même infini.
Cela résulte du fait que si up(n) est une suite extraite de un alors p est par définition une application croissante vérifiant p(n)≥n.
Une suite périodique ne peut pas tendre vers un infini.
Sinon, en vertu de de qui précède on pourrait en extraire une suite constante tendant vers l'infini.
Cependant on peut extraire d'une suite ne tendant pas vers l'infini une sous-suite tendant vers l'infini (voir exercice).

Exemples traités

  1. La suite des nombres premiers tend vers +∞ parce que si p(n) désigne le nombre premier de rang n on a p(n)>n.
  2. La suite de Fibonacci tend vers +∞ parce que un ≥ n pour n≥2, ce qui peut se démontrer facilement par récurrence.
  3. Montrons que la suite définie par u0=0 un=un-1+1/n pour n≥1 tend vers +∞ On peut écrire:
    u0=0
    u1=1
    u3=1+(1/2+1/3) ≥ 1+(1/4+1/4)=1+1/2=3/2
    u7=u3+(1/4+1/5+1/6+1/7) ≥ 3/2+(1/8+1/8+1/8+1/8)=4/2
    u15=u7+(1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+15) ≥ 5/2
    et plus généralement:
    u(2n-1) ≥(n+1)/2
    que l'on montre facilement par récurrence.
    Si on se donne maintenant un nombre M >0 quelconque, il existe un entier k tel que (k+1)/2 > M (à savoir k=2M-1).
    Posons alors N(M)=2k-1.
    Si n>N(M), comme (un) est croissante on a un>M.
  4. Montrons que la suite définie par u0=0 un=un-1+1/n² pour n≥1 ne tend pas vers +∞
    Montrons par récurrence que un≤2-1/n
    C'est vrai pour n=1. Supposons que un≤2-1/n alors un+1/(n+1)² ≤ 2-1/n+1/(n+1)²
    il suffit donc de montrer que:
    2-1/n+1/(n+1)² < 2-1/(n+1)
    ce qui se ramène imédiatement à (n+2)n ≤(n+1)²
    Il en résulte que la suite est bornée par 2 et qu'elle ne peut donc pas tendre vers +∞