Nous avons vu, par exemple dans cet exercice, que les suites de nombres réels s'organisent en un espace vectoriel réel. De plus avec la loi produit on a même une structure d'algèbre.
Nous nous proposons ici d'examiner le lien entre le comportement asymptotique des suites (être bornée, tendre vers un infini, tendre vers une limite) et les opérations algébriques (somme, produit, etc.).
Ainsi nous nous poserons des questions simples du genre:
Si u et v convergent vers des limites finies en est-il de même pour leur somme, leur produit?
Nous verrons que la plupart des questions naturelles qu'on peut se poser admettent des réponses simples dont la preuve est aisée, mais qu'il existe un certain nombre de cas où on ne peut pas trancher simplement. Ce sont ces cas que nous avons appelé 'indéterminations'. Ces cas nécessitent un étude spéciale et parfois l'utilisation de théorèmes plus fins. Nous verrons comment, dans le paragraphe suivant on peut lever facilement l'indétermination dans des cas simples.
Il est important de bien comprendre cet exposé parce que sa structure sera reprise pour l'étude locale (au voisinage d'un point) des fonctions numériques, ainsi que pour leur comportement asymptotique (ce qui se passe quand la variable réelle x tend vers un infini).
Certaines démonstrations simples seront omises. D'autres seront proposées en exercice.

Sommes

Les deux suites tendent vers une limite finie

Soient u=(un) une suite tendant vers une limite finie a et v=(vn) une suite tendant vers une limite finie b. Dans ces conditions la suite u+v=(un+vn) converge vers la limite a+b.

|(un+vn)-(a+b)|≤ |un-a|+|un-b|.
Soit ε1>0, ∃N1 | n>N1 ⇒ |un-a|≤ ε1.
Soit ε2>0, ∃N2 | n>N2 ⇒ |vn-b|< ε2.
Posons N=Sup(N1,N2), alors si n>N, on a;
|(un+vn)-(a+b)|<ε12
Soit maintenant ε>0 donné.
Choisissons ε1 et ε2 tels que ε12≤ε par exemple ε12=ε/2
Soient N1,N2 et N construits comme précédemment, alors:
n>N ⇒ |(un+vn)-(a+b)|< ε, CQFD.
L'appliquette suivante montre les termes successifs d'une suite u, d'une suite v et de la suite somme w.
La suite u est représentée avec la couleur bleue, v en vert et w en rouge.
Nous sommes dans le cas où u tend vers 2 et v vers 3.
Nous devons donc observer la convergence de w vers 5.
Au début, il n'y a que les deux premiers termes, appuyez sur le bouton 'Suivant' pour en voir un de plus.
Appuyez sur le bouton '+10' pour en voir 10 de plus d'un seul coup.
Utilisez le menu en bas à droite pour zoomer et se déplacer sur le graphique.
Appuyez sur 'Recommencer' pour recommencer depuis le début.

Résultat de l'exécution:
0.0909082005955 : 0.0909082005955 : 0.181816401191
0.00447550284335 : 0.00447550284335 : 0.0089510056867
0.00091907152606 : 0.00091907152606 : 0.00183814305212
9.66238650577e-05 : 9.66238650575e-05 : 0.000193247730115

Les deux suites tendent vers le même infini

Soient u=(un) une suite tendant vers +∞ et v=(vn) une suite tendant vers +∞ également. Dans ces conditions la suite u+v=(un+vn) tend aussi vers +∞.
Et on a, bien sûr, également:
Soient u=(un) une suite tendant vers -∞ et v=(vn) une suite tendant vers -∞ également. Dans ces conditions la suite u+v=(un+vn) tend aussi vers -∞.

Une suite tend vers un infini l'autre est bornée

Soient u=(un) une suite tendant vers un ∞ (+ ou -) et v=(vn) une suite bornée. Dans ces conditions la suite u+v=(un+vn) tend aussi vers le même infini que u.
Remarque: Cela s'applique au cas où v tend vers une limite finie, puisque dans ce cas elle est bornée.

Cas d'indétermination

Le seul cas d'indétermination pour les sommes concerne les suites qui sont sommes d'une suite tendant vers un infini avec une autre tendant vers un infini opposé.
Dans ce cas on ne peut rien dire.
Voici quelques exemples:
  • Supposons que un=n² et vn=-n, alors il est clair que un+vn → +∞.
  • Si maintenant un=n et vn=-n², alors un+vn → -∞.
  • Si un=n et vn=a-n alors un+vn → a.

Produits

Les deux suites tendent vers une limite finie

Soient u=(un) une suite tendant vers une limite finie a et v=(vn) une suite tendant vers une limite finie b. Dans ces conditions la suite uv=(unvn) converge vers la limite ab.

(unvn-ab)=(un-a)b+(vn-b)a+(un-a)(vn-b)
Soit ε1>0, ∃N1 | n>N1 ⇒ |un-a|≤ ε1.
Soit ε2>0, ∃N2 | n>N2 ⇒ |vn-b|< ε2.
Posons N=Sup(N1,N2), alors si n>N, on a;
|unvn-ab|≤|bε1|+|aε2|+|ε1ε2|
ε>0 étant donné on peut toujours trouver ε1et ε2 tels que:
|bε1|+|aε2|+|ε1ε2|≤ε
Il suffit par exemple de prendre ε12=ε/k
où k est un entier positif tel que |a|/k+|b|/k+1/k²|<1
Prenant alors N1,N2 et N comme ci-dessus,on a:
n > N ⇒ |unvn-ab| <ε
L'appliquette suivante montre les termes successifs d'une suite u, d'une suite v et de la suite produit w.
Fonctionnement identique à la précédente.

Voici un programme illustrant la convergence du produit de deux suites:

Résultat de l'exécution:
0.0909082005955 : 0.0909082005955 : 0.446276702042
0.00447550284335 : 0.00447550284335 : 0.0223975443425
0.00091907152606 : 0.00091907152606 : 0.00459620232277
9.66238650577e-05 : 9.66238650575e-05 : 0.000483109989116

Les deux suites tendent vers l'infini

Soient u=(un) et v=(vn) deux suites divergeant vers l'infini. Dans ces conditions la suite uv=(unvn) diverge aussi vers l'infini (règle des signes).
Cela veut dire par exemple que si u tend vers +∞ et v tend vers ∞ alors uv tend vers -∞

Une suite tend vers 0 et l'autre est bornée

Si u tend vers 0 et que v est bornée alors uv tend vers 0.

Une suite tend vers une limite non nulle et l'autre vers l'infini

Soit u une suite tendant vers une limite finie a ≠0 et v tendant vers l'infini, alors uv tend vers l'infini (règle des signes).
Cela veut dire, par exemple que si a<0 et v →-∞ alors uv →+∞

Cas d'indétermination

Le seul cas d'indétermination pour les produits concerne les suites qui sont produits d'une suite tendant vers zéro avec une autre tendant vers un infini quelconque.
Dans ce cas on ne peut rien dire.
Voici quelques exemples:
  • Supposons que un=n² et vn=1/n, alors il est clair que unvn → +∞.
  • Si maintenant un=n et vn=1/n², alors unvn → 0;.
  • Si un=n et vn=a/n alors unvn → a.

Produits par un scalaire

Le produit d'une suite u par un scalaire λ peut être considéré comme un cas particulier du produit de deux suites quand l'une est 'stationnaire' (constante). Une suite constante converge évidemment vers son terme initial. Les résultats seront donc des spécialisations des résultats du paragraphe précédent sur les produits de deux suites.

Le scalaire λ est nul

Dans ce cas λu est stationnaire nulle.

Le scalaire est non nul

La suite tend vers une limite finie
Si u tend vers une limite finie a, alors λu tend vers λa.
La suite tend vers un infini
Si u tend vers un infini, alors λu tend vers un infini (règle des signes).
Cela veut dire, par exemple, que si λ est >0 et si u tend vers -∞ alors λu tend vers -∞

Quotients

On considère des suites quotients u/v. A priori le quotient de deux telles suites n'existe que quand la suite v est partout non nulle (vn≠0 ∀ n∈ℕ), mais dans la mesure où on s'intéresse seulement à ce qui se passe quand n devient très grand on pourra faire l'hypothèse moins restrictive que vn≠0 à partir d'un certain rang seulement (ie: Il existe un entier N tel que n>N ⇒ vn≠0).

Les deux suites tendent vers des limites finies, la limite de la suite v étant non nulle

Soient u=(un) une suite tendant vers une limite finie a et v=(vn) une suite tendant vers une limite finie b≠0. Dans ces conditions la suite u/v=(un/vn) converge vers la limite a/b.

On a un/vn-a/b=(unb-avn)/(vnb) et
unb-avn (un-a)b-(vn-b)a

=
vnb vnb
Ces égalités on un sens pour vnb≠0 mais on a par hypothèse b≠0 et vn → b.
Nous en concluons que pour n suffisamment grand (disons n > N3) le produit bvn est non nul.
Supposons |un-a|<ε1 et |vn-b|<ε2
Alors |un/vn-a/b| ≤ (|b|ε1+|a|ε2)/|vnb|
Pour n suffisamment grand (disons n>N4)on a |b|/2 ≤|vn|≤ |3b/2|
Donc |vnb|≥b²/2 et:
|un/vn-a/b| ≤ 2(|b|ε1+|a|ε2)/|b²|
ε >0 étant donné on peut toujours trouver ε1 et ε2 tels que:
2(|b|ε1+|a|ε2)/|b²|< ε
Il suffit de prendre ε1<ε|b|/4 et ε2 < ε|b|²/4|a| si a≠0.
Soit alors N1 tel que |un-a|<ε1
Et soit N2 tel que |vn-b|<ε2
Posons N=Sup(N1,N2,N3,N4)
Si n>N on a |un/vn-a/b|<ε.
L'appliquette suivante montre les termes successifs d'une suite u, d'une suite v et de la suite quotient. Au début, il n'y a que les deux premiers termes, appuyez sur le bouton 'Suiv' pour en voir un de plus. Appuyez sur 'Rec' pour recommencer depuis le début.

Voici un programme illustrant la convergence du quotient de deux suites:

Résultat de l'exécution:
0.0909082005955 : 0.0909082005955 : 0.0104165614636
0.00447550284335 : 0.00447550284335 : 0.000496537342277
0.00091907152606 : 0.00091907152606 : 0.000102087783126
9.66238650577e-05 : 9.66238650575e-05 : 1.07363308017e-05

La suite u est bornée et v tend vers un infini

Si u est bornée et v tend vers un infini alors u/v tend vers 0.

La suite u tend vers une limite non nulle et v tend vers 0 unilatéralement

Si u tend vers a>0 et si v → 0+, alors u/v → +∞.
Si u tend vers a>0 et si v → 0-, alors u/v → -∞.
Si u tend vers a<0 et si v → 0+, alors u/v → -∞.
Si u tend vers a<0 et si v → 0-, alors u/v → +∞.

La suite u tend vers un infini et la suite v tend vers 0 unilatéralement

Si u tend vers +∞ et si v → 0+, alors u/v → +∞.
Si u tend vers +∞ et si v → 0-, alors u/v → -∞.
Si u tend vers -∞et si v → 0+, alors u/v → -∞.
Si u tend vers -∞ et si v → 0-, alors u/v → +∞.

Cas d'indétermination

Quotient de deux infinis
On ne peut rien dire du quotient de deux suites tendant vers l'infini.
Voici quelques exemples:
  • Supposons que un=n² et vn=n, alors il est clair que un/vn → +∞.
  • Si maintenant un=n et vn=n², alors un/vn → 0.
  • Si un=n et vn=n/a alors un/vn → a.
Quotient de deux limites nulles
On ne peut rien dire du quotient de deux suites tendant vers zéro.
Voici quelques exemples:
  • Supposons que un=1/n² et vn=1/n, alors il est clair que un/vn → 0.
  • Si maintenant un=1/n et vn=1/n², alors un/vn → +∞.
  • Si un=1/n et vn=1/(na) alors un/vn → a.