Définitions

Soit u=(un)n∈ℕ une suite bornée. Pour tout k≥0 posons Xk={un|n≥k}.
La suite des ensembles Xk vérifie X0⊇X1⊇X2⊇ ... ⊇Xk-1⊇Xk⊇Xk+1⊇ ......
Tous les ensembles Xk sont bornés, leur borne supérieure est majorée par la borne supérieure de la suite u, leur borne inférieure est minorée par la borne inférieure de la suite u.
Posons Mk=Sup(Xk) et mk=Inf(Xk).
A cause de la relation X0⊇X1⊇X2⊇ ... ⊇Xk-1⊇Xk⊇Xk+1⊇ ....., la suite (Mk) est décroissante et la suite (mk) est croissante.
Ces deux suites sont donc convergentes.
Pour toute suite bornée u=(un)n∈ℕ on appelle 'limite supérieure' de u la limite de la suite (Mk)k∈ℕ et on appelle 'limite inférieure' de u la limite de la suite (mk)k∈ℕ

Notations

La limite supérieure de la suite u se note:
lim sup (u)
ou encore:
lim sup un
n→+∞
ou encore:
lim un
n→+∞
La limite inférieure de la suite u se note:
lim inf (u)
ou encore:
lim inf un
n→+∞
ou encore:
lim un
n→+∞

Propriétés

Pour toute suite bornée u:
On a toujours:
lim inf un
n→+∞
lim sup un
n→+∞
preuve: Voir exercice 01
lim sup un
n→+∞
est le plus grand des points d'accumulation de la suite u
preuve: Voir exercice 02
lim inf un
n→+∞
est le plus petit des points d'accumulation de la suite u
Si u converge vers le réel a alors:
lim inf un
n→+∞
≤ a ≤
lim sup un
n→+∞
C'est la conséquence des deux résultats précédents et du fait que la limite de la suite est un point d'accumulation particulier.
Une condition nécessaire et suffisante pour que u converge est que:
lim inf un
n→+∞
=
lim sup un
n→+∞
Dans ces conditions la limite de la suite u est la valeur commune des deux limites.
preuve: Voir exercice 03

Exemples

  1. Pour une suite périodique u de période k, lim sup u =Max(u0,u1,...,uk-1) et lim inf u =Min(u0,u1,...,uk-1)
  2. L'appliquette suivante montre les termes successifs d'une suite admettant une limite supérieure égale à 2 et une limite inférieure égale à -1, elle possède en outre +1 comme point d'accumulation. Au début, il n'y a que les deux premiers, appuyez sur le bouton 'Suivant' pour en voir un de plus.
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Droite réelle achevée ¯

Jusqu'à présent les symboles +∞ et -∞ n'avaient pas de sens 'propre'; ils n'intervenaient que dans des écritures faisant intervenir des limites et dans des expressions du type n → +∞ signifiant en gros 'n devenant de plus en plus grand'.
Nous allons maintenant faire en sorte de donner un sens individuel aux symboles +∞ et -∞. Naturellement ils ne représenteront pas des nombres réels, mais ils permettront de généraliser un grand nombre d'énoncés concernant les suites monotones et les limites supérieures et inférieures des suites, sans distinction entre les cas 'borné' et 'non borné'.
Soit donc I l'intervalle ]-1,+1[ et soit J son adhérence [-1,+1].
On considère l'application f:ℝ→ I donnée par:
f(x)=x/(1+|x|)

Il est clair que c'est une bijection, la bijection réciproque étant l'application g:I → ℝ donnée par:
g(x)=x/(1-|x|)
On désigne par ¯ et on appelle 'droite réelle achevée' l'ensemble ℝ∪{-∞}∪{+∞} où -∞ et +∞ sont deux nouveaux éléments qui n'appartiennent pas à ℝ
Cela fait nous prolongeons f en une application que nous noterons encore f: ¯ → J définie par:
f(-∞)=-1 et f(+∞)=+1
qui sera donc encore une bijection de ¯ sur J, la bijection réciproque g étant caractérisée par g(-1)=-∞ et g(+1)=+∞
Remarquons maintenant que J est avec la distance d(x,y)=|x-y| un espace métrique.
Nous pouvons utiliser g pour 'transporter' cette distance sur ¯ en posant:
d(x,y)=d(g(x),g(y))
faisant ainsi de ¯ un espace métrique.
Notons que la restriction de cette distance à ℝ n'est pas égale à la distance usuelle, par exemple d(1,2)=1/6 alors que |1-2|=1. Cependant les voisinages des nombres réels sont les mêmes pour les deux distances.
Cela dit pour cette distance les voisinages de +∞ dans ¯ sont tous les ensembles contenant des ensembles de la forme {+∞} ∪ ]M,+∞[.
Les voisinages de -∞ dans ¯ sont tous les ensembles contenant des ensembles de la forme {-∞} ∪ ]+∞,m[.
Ces remarques étant faites la convergence de la suite u vers le réel a peut être exprimée ainsi:
Pour tout voisinage V de a ∃N|n>N ⇒ un ∈V
Nous pouvons maintenant utiliser cette remarque pour définir la convergence d'une suite u=(un) de réels vers un élément b de ¯
On dit que la suite u=(un) converge vers l'élément b de ¯ (b pouvant donc être soit un réel a soit +∞ soit -∞) ssi: ∀V, voisinage de b, ∃N| n>N ⇒ un ∈V
On voit qu'avec cette nouvelle définition. Les propositions 'u diverge vers +∞' (au sens précédent) et 'u converge vers +∞' (au sens nouveau) signifient la même chose. Nous espérons que le lecteur débutant ne sera pas trop désorienté par ces usages un peu contradictoires.

Prolongement de la relation d'ordre.

Il suffit de transporter la relation d'ordre sur J, donc:
+∞ ≥ x ∀x∈ ¯
-∞≤ x ∀x∈ ¯
La droite réelle achevée possède donc un plus grand élément (+∞) et un plus petit élément (-∞)

Prolongement partiel des opérations algébriques

Somme
Nous convenons que:
(+∞)+(+∞)=(+∞)
(+∞)+x=+∞ ∀x∈ℝ
(-∞)+(-∞)=(-∞)
(-∞)+x=-∞ ∀x∈ℝ
l'expression (+∞)+(-∞) n'a pas de sens.
l'expression (-∞)+(∞) n'a pas de sens.
On remarquera que ces deux derniers cas correspondent exactement aux cas d'indétermination des limites de sommes de suites.
Produit
Nous convenons le produit est commutatif et que:
(+∞)×(+∞)=(+∞)
(-∞)×(-∞)=(+∞)
(-∞)×(+∞)=(-∞)
a×(+∞)=(+∞) ∀a∈ + (a>0)
a×(+∞)=(-∞) ∀a∈ (a<0)
a×(-∞)=(-∞) ∀a∈ + (a>0)
a×(-∞)=(+∞) ∀a∈ (a<0)
L'expression 0×+∞ n'a pas de sens.
L'expression 0×-∞ n'a pas de sens.
On remarquera que ces deux derniers cas correspondent exactement aux cas d'indétermination des limites de produits de suites.
Quotient
Pour tout réel a a/+∞=0
Pour tout réel a a/-∞=0
(+∞)/a=(+∞) ∀a∈ + (a>0)
(-∞)/a=(-∞) ∀a∈ + (a>0)
(+∞)/a=(-∞) ∀a∈ (a<0)
(-∞)/a=(+∞) ∀a∈ (a<0)
Aucune expression du type b/0 avec b∈ ¯ n'a de sens.
(+∞)/(+∞) n'a pas de sens.
(+∞)/(-∞) n'a pas de sens.
(-∞)/(+∞) n'a pas de sens.
(-∞)/(-∞) n'a pas de sens.
On remarquera, cette fois encore, que ces deux derniers cas correspondent exactement aux cas d'indétermination des limites de quotients de suites.

Simplification de quelques enonçés.

On pourra maintenant dire que dans la droite réelle achevée:
Toute suite monotone est convergente (la limite étant éventuellement +∞ ou -∞)
Toute suite possède une lim sup et une lim inf.