Définitions

Nous nous intéressons maintenant exclusivement aux suites convergentes vers une limite finie. Nous avons déjà vu quelques exemples de telles suites, pour la plupart des suites monotones,comme:
  1. Cette suite un=un-1+1/n²
  2. Cette suite un=(1+1/n)n
Nous avons vu que dans ces cas précis(suites croissantes) tous les termes de la suite restent strictement inférieurs à la limite. Il existe d'autres cas où la suite (un) oscille autour de sa limite, c'est à dire passe sans arrêt au-dessus et au dessous de sa limite.
Notons bien, nous en verrons ici des exemples, que le fait d'être monotone n'est absolument pas une condition nécessaire pour que la suite reste du même côté de la limite.
Nous dirons que la suite (un) 'tend vers a par valeurs supérieures', et nous noterons:
lim un=a+
n → +∞
Si la suite (un) tend vers a d'une part et un ≥ a ∀ n ∈ ℕ d'autre part.
Et nous avons évidemment une définition symétrique:
Nous dirons que la suite (un) 'tend vers a par valeurs inférieures', et nous noterons:
lim un=a-
n → +∞
Si la suite (un) tend vers a d'une part et un ≤ a ∀n ∈ ℕ d'autre part.

Remarques

Le lecteur sera très attentif au fait que des symboles tels que a+ ou a-, pris isolément, hors du contexte dans lequel ils sont définis, n'ont aucun sens par eux-mêmes (comme +∞ et -∞). En particulier ils ne désignent pas des nombres.
Il est évident que:
Une suite croissante majorée converge vers sa limite par valeurs inférieures.
Une suite décroissante minorée converge vers sa limite par valeurs supérieures.
Mais une suite peut très bien tendre vers sa limite par valeurs inférieures ou supérieures sans être monotone.

Exemples

L'appliquette suivante montre les termes successifs d'une suite un tendant vers 1.
Vous pouvez définir le mode de convergence avec la liste déroulante: 'par valeurs supérieures', 'par valeurs inférieures' ou bien ni l'un ni lautre avec les boutons radio.
Au début, il n'y a que les deux premiers, appuyez sur le bouton 'Suivant' pour en voir un de plus.
Appuyez sur le bouton '+10' pour en voir 10 de plus.
Appuyez sur 'Recommencer' pour recommencer depuis le début.
Utilisez le menu en bas à droite pour zoomer et se déplacer sur le graphique.

par valeurs inférieures par valeurs supérieures ni l'un ni l'autre