Quelques observations préliminaires

Nous avons vu de nombreuses suites croissantes:
  1. La suite de Fibonacci.
  2. Les suites arithmétiques de raison r > 0.
  3. Les suites géométriques de raison q >1 et de premier terme > 0 .
  4. Cette suite: un=un-1+1/n
  5. Cette suite: un=un-1+1/n²
  6. Cette autre suite un=(1+1/n)n
Le seul fait qui n'était pas évident était le fait que l'exemple 6 correspond à une suite croissante. Cela a été démontré dans cet exercice.
Il est évident que les exemples 1,2 et 3 correspondent à des suites divergeant vers +∞.
Nous avons montré que la suite de l'exemple 4 divergeait vers +∞ dans le cours.
nous avons montré que la suite de l'exemple 5 était bornée dans le cours.
nous avons vu que la suite de l'exemple 6 était bornée dans cet exercice.
La question se pose de connaître le comportement asymptotique des suites des exemples 5 et 6, sachant qu'elles sont croissantes et bornées.
Nous pouvons écrire de petits programmes de tests pour établir une conjecture. On a la très nette impression qu'il y a convergence dans un cas comme dans l'autre. Il est maintenant temps de prouver ce résultat.

Théorème fondamental

Toute suite croissante et majorée est convergente
La preuve est assez simple si on utilise le théorème de la borne supérieure. Soit (un) la suite en question, et soit B sa borne supérieure. Nous allons montrer que (un) converge vers B. Soit ε un réel > 0 . D'après la définition de la borne supérieure il existe un indice N tel que B-uN < ε. Comme la suite est croissante, pour n >N on a un > uN mais on a aussi un < B donc |un-B| < ε.
Nous pouvons après cette preuve compléter le théorème.
Toute suite croissante et majorée est convergente et sa limite est égale à sa borne supérieure
Nous avons évidemment un résultat symétrique pour les suites décroissantes:
Toute suite décroissante et minorée est convergente et sa limite est égale à sa borne inférieure
Nous pouvons même encore affiner un peu ce résultat:
Dans le cas d'une suite strictement monotone, la limite (qui existe donc) n'est jamais atteinte, en ce sens que si a est cette limite on n'a jamais l'égalité un=a pour aucune valeur de n.
Ce résultat a évidemment pour corollaire:
Pour une suite monotone croissante il n'y a que deux possibilités:
  1. Soit elle est majorée auquel cas elle converge vers une limite finie
  2. Soit elle n'est pas majorée alors elle tend vers +∞.
Et, bien sûr, le théorème symétrique pour les suites décroissantes.
Nous pouvons également remarquer que les théorèmes précédents s'appliquent aux suites bornées qui sont 'monotones à partir d'un certain rang'.

Remarques sur la nature du théorème précédent

Le théorème qui précède est un théorème d'existence. Il affirme que, dans certaines conditions la limite d'une suite existe, mais il ne permet pas de calculer sa valeur. Nous pouvons donc maintenant affirmer que, dans le cas de l'exemple 5 ci-dessus la limite de la suite existe. L'exécution du programme nous laisse à penser que le début du développement décimal de cette limite est 2.718...Cependant, tant que nous n'avons pas fait une étude d'analyse numérique (estimer la différence entre un terme un et la mimite de la suite) rien ne permet d'affirmer que c'est vrai. La croissance pourrait très bien s'accélérer après l'indice 200000 et la limite pourrait être 2.9.. rien ne nous autorise à présent à l'exclure.
Démontrer qu'une suite converge c'est une chose, calculer sa limite c'est un autre problème (souvent plus difficile).

Suites adjacentes

Soient (un) et (vn) deux suites de réels.
On dit que (un) et (vn) sont 'adjacentes' si elles vérifient les conditions suivantes:
L'appliquette suivante montre les termes successifs de deux suites adjacentes.
Au début, il n'y a que les deux premiers, appuyez sur le bouton 'Suivant' pour en voir un de plus.
Appuyez sur le bouton '+10' pour en voir 10 de plus.
Appuyez sur 'Recommencer' pour recommencer depuis le début.
Concernant ces suites, nous avons:
Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
Il résulte de cette définition que tout élément de (un) est un minorant de la suite (vn) et que tout élément de la suite (vn) est un majorant de la suite (un) donc les deux suites sont convergentes. En outre la dernière condition implique que leurs limites sont égales. De plus la limite commune des deux suites est entre un et vn pour tout indice n.

Exemple traité

Voici un cas d'application:
Considérons la suite récurrente définie par u0=1 et un=un-1+(-1)n/(n+1).
On désigne par (vn) la suite extraite de (un) formée des termes de rang pair:
v0=1
v2=1+(-1/2+1/3)
v3=1 +(-1/2+1/3)+(-1/4+1/5)
Alors il est évident que (vn) est décroissante puisque on ajoute à chaque fois une quantité négative.
On désigne par (wn) la suite extraite de (un) formée des termes de rang impair:
w0=1/2
w1=1/2+(1/3-1/4)
w2=1/2+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)
Alors il est évident que (wn) est croissante puisqu'on ajoute à chaque fois une quantité positive.
On a de plus : vn-wn=u2n-u2n-1=1/(2n+1)
qui prouve que la suite vn-wn tend vers 0 donc que les suites (vn) et (wn) sont adjacentes. Il en résulte que ces deux suites ont même limite, et comme ces deux suites extraites ont une réunion égale à la suite initiale (un) la suite (un) elle-même converge vers la limite commune de (vn) et (wn) et on sait que cette limite se trouve dans chacun des intervalles ]wn,vn[.
Cette fois, un programme d'ordinateur nous permet de situer cette limite avec précision.

Exécution:
début:
] 0.5 ; 1 [
] 0.692897492685 ; 0.693396993185 [
] 0.693022258638 ; 0.693272133701 [
] 0.693063881935 ; 0.693230493065 [
] 0.693084700085 ; 0.693209668843 [
] 0.693097193057 ; 0.693197173061 [
.........
fin:
] 0.693143933859 ; 0.693150427282 [
] 0.693143975483 ; 0.693150385657 [
] 0.693144016053 ; 0.693150345087 [