Définitions

Nous avons déjà vu la notion de compatibilité entre une application et deux relations d'ordre. Ceci s'applique aux suites puisque nous avons sur ℕ la relation d'ordre ≤ ainsi que son prolongement sur ℝ.
Ainsi une suite 'croissante' (au sens large) sera tout simplement une suite u vérifiant un≥um ∀ (m,n) tel que n≥m.
De la même façon nous avons les suites strictement croissantes.
Une suite 'strictement croissante' sera tout simplement une suite u vérifiant un>um ∀ (m,n) tel que n>m.
Il résulte de la définiton que les suites strictement croissantes sont injectives.
Les suites décroissantes et strictement décroissantes sont définies de même.
Ainsi une suite 'décroissante' (au sens large) sera tout simplement une suite u vérifiant un≤um ∀ (m,n) tel que n≥m.
Une suite 'strictement décroissante' sera tout simplement une suite u vérifiant un<um ∀ (m,n) tel que n>m.
Les suites 'monotones' sont les suites croissantes ou décroissantes.
Les suites 'strictement monotones' sont les suites strictement croissantes ou strictement décroissantes.
Une suite est dite 'stationnaire' ou 'constante' si tous ses termes sont égaux.

A partir d'un certain rang

En fait, dans ce chapitre, nous étudions principalement les suites du point de vue de leur comportement 'asymptotique', c'est à dire que nous cherchons à connaître le comportement des suites lorsque l'indice devient très grand.
On néglige donc pratiquement ce qui se passe au début de la suite, pour un nombre fini d'indices.
Nous aurons donc la notion de suite 'monotone à partir d'un certain rang', c'est à dire telles que les définitions s'appliquent seulement pour les couples d'indices (m,n) supérieurs à une certaine valeur n0.

Types de croissance

Parmi les suites croissantes on peut établir une hiérarchie. Certaines suites croissent 'plus vite' que d'autres.
Introduisons d'ores et déjà la 'notation de Landau' pour les suites.
Soient u=(un) n ∈ℕ et v=(vn) n ∈ℕ deux suites. Nous écrirons v=O(u) si il existe une constante k>0, telle qu'à partir d'un certain rang n0 on ait |vn|≤k|un|
Ainsi on distingue les suites croissantes 'linéaires' (du type O(n)) des suites croissantes 'quadratiques' (du type O(n²)), et plus généralement les suites croissantes de type 'polynomial' (en O(p(n)) où p(n) est un polynôme de degré quelconque) des suites croissantes de type 'exponentiel' (en O(an) où a est une constante réelle >0).

Exemples

  1. La suite de Fibonacci est une suite croissante, strictement à partir du rang 1, de type exponentiel.
  2. Les suites géométriques de raison q>1 avec un premier terme positif sont croissantes de type exponentiel.
  3. Les suites arithmétiques de raison r>0 sont strictement croissantes.
  4. Les suites arithmétiques de raison r<0 sont strictement décroissantes.
  5. Les suites arithmétiques de raison nulle sont stationnaires.
  6. Les suites géométriques de raison q=1 sont stationnaires.
  7. Les suites géométriques de premier terme non nul et de raison q<0, ne sont pas monotones.
  8. Cette suite est strictement décroissante à partir du rang 3.

Comment démontre-t-on ...?

Pour démontrer qu'une suite est croissante on peut démontrer que la différence un+1-un est ≥0 (toujours ou bien seulement à partir d'un certain rang selon les cas).
Ceci résulte simplement de la transitivité de ≥
si un+1 ≥ un et un+2 ≥ un+1 alors un+2 ≥ un et ainsi de suite ...
Cette démonstration peut être directe ou par récurrence.
Pour les suites à termes positifs on peut également démontrer que le rapport un+1/un est <1.
'Etudier la variation' d'une suite signifie prouver qu'elle est croissante, décroissante, toujours ou à partir d'un certain rang, ou bien qu'elle n'est ni l'un ni l'autre.