Nous nous intéressons ici uniquement à la convergence. Nous allons utiliser les résultats du paragraphe précédent (limites et opérations algébriques) pour lever certaines indéterminations.

Suites arithmétiques

Les suites arithmétiques font partie des suites usuelles dont les propriétés du point de vue de la convergence, doivent être connues et utilisées.
Rappelons que pour une suite arithmétique u= (un) de raison r:

Suites géométriques

Les suites géométriques font partie des suites usuelles dont les propriétés du point de vue de la convergence doivent également être connues et utilisées.
Rappelons que pour une suite géométrique u= (un) de raison q:
  1. u est stationnaire et converge vers 0 si u0=0
  2. u ne converge jamais si |q|>1 et u0≠0
  3. u est stationnaire et converge vers u0 quand q=1
  4. u converge vers 0 quand |q|<1
  5. u tend vers +∞ si q>1 et u0>0
  6. u tend vers -∞ si q>1 et u0<0

Suites polynomiales en n

Une suite est dite 'polynomiale de degré p' s'il existe un polynôme à coefficients réels P(X)=a0+a1X+a2X2+ ... +apXp tel que: un=P(n) ∀n∈ℕ
Concernant ces suites, nous avons le résultat important suivant:
Sauf dans le cas du degré 0, les suites polynomiales ne convergent jamais vers une limite finie. Elles se comportent comme leur terme de plus haut degré soit apnp, c'est à dire qu'elle tendent vers +∞ quand ap>0 et vers -∞ quand ap<0

Il suffit de mettre en facteur np, on a alors:
un=np(ap+ap-1/n+ ap-2/n2+ ... +a1/np-1+a0/np)
Le membre de droite est égal à la constante ap augmenté d'une somme de termes qui sont des quotients de la forme ai/np-i. Tous ces quotients tendent vers 0 en appliquant le théorème sur la limite des quotients. Donc la somme tend vers ap en appliquant le théorème sur les sommes. D'où le résultat final en appliquant le théorème sur les produits.

Fractions rationnelles

Une suite u=(un) est dite 'fraction rationnelle en n' si elle est le quotient de deux suites polynomiales. C'est à dire s'il existe deux polynômes:
P(X)=a0+a1X+a2X2+ ... +apXp
Q(X)=b0+b1X+b2X2+ ... +bqXq
tels que:
un=P(n)/Q(n) ∀n∈ℕ
Concernant ces suites, nous avons le résultat important suivant:
Ces suites se comportent pour n →∞ comme le quotient de leurs termes de plus haut degré soit apnp/(aqnq)
Ce qui entraîne en particulier que:

Il suffit de mettre en facteur np au numérateur et nq au dénominateur. La suite un s'écrit alors np-qvn, où:
vn=(ap+ap-1/n+ ap-2/n2+ ... +a1/np-1+a0/np)/(bq+bq-1/n+ bq-2/n2+ ... +b1/nq-1+b0/nq)
La limite de vn est donc ap/bq
Tout dépend donc du signe de ap/bq et du signe de p-q.

Fonctions avec radicaux

On trouve fréquemment certaines indéterminations impliquant des racines carrées comme par exemple: un=√(n+1)-√n
et plus généralement comme p√vn-q√wn
Une façon de les résoudre consiste à multiplier et à diviser par 'l'expression conjuguée' p√vn+q√wn.
On a alors:
p²vn-q²wn
un=
p√vn+q√wn
Et parfois l'indétermination disparaît.
Voyons ce qui se passe dans notre exemple:
On trouve: un=1/(√(n+1)+√n). L'indétermination a disparu, on trouve une limite nulle.