Introduction

Nous avons vu que l'idée fondamentale du calcul différentiel était l'approximation locale des fonctions par des fonctions affines (polynômes du premier degré). Nous allons maintenant généraliser cela avec des fonctions polynomiales de degré >1. Nous verrons qu'une condition suffisante pour que cela soit possible est que la fonction possède en le point où on l'étudie des dérivées d'ordre supérieur. On attribue la paternité de ces résultats à Brook Taylor, mais il semble que James Gregory aie déjà, avant lui, été familiarisé avec ces techniques. Cauchy, Laplace et Lagrange sont venus affiner ces résultats pour ce qui concerne l'évaluation du 'reste' (l'erreur commise en remplaçant localement la fonction par un polynôme). Nous introduisons ici quelques notations qui seront utilisées dans tout le chapitre.
I désigne un intervalle ouvert et a ∈ I un point de I.
n désigne un entier n ≥ 1.
f désigne une fonction numérique définie sur I (donc au voisinage de a), et on suppose que f est n fois dérivable en a, ses dérivées successives en a étant f(0)(a)=f(a) , f(1)(a)=f'(a), , f(2)(a)=f"(a), etc... jusqu'à f(n)(a) dérivée n-ème de f au point a.
On désigne par T(n,f,a) la fonction polynomiale de degré n définie sur I par:
T ( n , f , a ) ( x ) = k = 0 n f ( k ) ( a ) ( x a ) k k !
Ce polynôme sera parfois appelé "l'approximation de Taylor" d'ordre n, de la fonction f, au point a.
Enfin on désigne par R(n,f,a) la différence f-T(n,f,a), soit:
R(n,f,a)(x)=f(x)-T(n,f,a)(x) ∀ x ∈ I.
R(n,f,a) sera lui-même désigné sous le non de 'reste' de Taylor.
Lorsque n et a seront supposés connus et fixes on allégera un peu les notations en notant simplement T au lieu de T(n,f,a) et R au lieu de R(n,f,a). La plupart des théorèmes qui suivent disent que T est une estimation de f au voisinage de a d'autant meilleure que n est elevé. Les différents énoncés donnent une estimation du reste qui représente donc l'erreur commise en remplaçant f par T.
Il sera bon de connaître les notations de Landau.

Hommage à

James Gregory (1638/1675 - UK) Brook Taylor (1685/1731 - UK) Colin Maclaurin (1698/1746 - UK)