Définition

Le thème de ce chapitre est, nous l'avons compris, l'approximation locale des fonctions par des polynômes.
Nous avons vu que, grâce au théorème de Taylor-Young, une telle approximation est rendue possible quand on fait des hypothèses de différentiabilité suffisante sur les fonctions. Nous allons maintenant développer tout un formalisme concernant l'approximation des fonctions par des polynômes, formalisme qui trouvera immédiatement son application par les différentes formules de Taylor.
Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et soit x0 un point de I.
On dit que f possède un développement limité (D.L.) d'ordre n au point x0, s'il existe n+1 constantes a0, a1, ... , an, telles que :
f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ ... +an(x-x0)n + o((x-x0)n).

Remarques

L'application Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ ... +an(x-x0)n est bien un polynôme de degré n en x comme on le voit en développant les différents (x-x0)k pour k allant de 0 à n.
Nous avons utilisé ici les notations de Landau. C'est à dire que o((x-x0)n) désigne une fonction ε(x) vérifiant :
lim x x 0 , x x 0 ε ( x ) ( x x 0 ) n = 0
On prouve aisément que :
Si f possède un D.L. d'ordre n au voisinage de x0 ce D.L. est nécessairement unique.
En effet si Pn et Qn sont deux polynômes de degré maximal n approximant f au voisinage de x0, alors leur différence Dn=Pn-Qn est également un polynôme de degré maximal n et on a Dn=o((x-x0)n). Ceci n'est possible que si Dn est nul.

Lien avec la dérivabilité

Citons d'abord un théorème important:
Une condition suffisante pour que f possède en x0 un D.L. d'ordre n est que f soit n fois dérivable en x0.
La preuve consiste en une simple application de la formule de Taylor-Young.
La réciproque est vraie si n=1.
La preuve se résume à la définition de la dérivée en x0. Par contre :
La réciproque est en générale fausse pour n > 1.
Il suffit pour le voir de considérer l'application f définie au voisinage de 0 par :
f ( x ) = { x 3 sin ( 1 x 2 )  si  x 0 0  si  x = 0
On peut démontrer que cette application est définie continue et dérivable au voisinage de 0.
On peut en outre voir que f est dérivable en 0 et que f'(0)=0.
Par contre pour x ≠ 0 on a
f ' ( x ) = 3 x 2 sin ( 1 x 2 ) 2 cos ( 1 x 2 )
Ce qui prouve que f' n'est pas continue en 0, donc que le nombre f"(0) n'est pas défini.

Café Python

Le programme qui suit modélise les développements limités comme des objets python:

Le programme qui suit utilise le module sympy pour calculer un dévelopement limité d'ordre 5 au voisinage de l'origine.